4.5.2 用二分法求方程的近似解（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.5.2 用二分法求方程的近似解 第四章 指数函数与对数函数 “假币”的发现 在24枚崭新的金币中，混入了一枚外表相同但重量较轻的假币，现在只有一台天平，请问：需要称几次就可发现这枚假币？ 第一次 假 假 第二次 第三次 第四次 思想:一分为二,逐步缩小范围,逼近准确值 3 情景引入，温故知新 问题1：函数在区间内存在一个零点.如何求出这个零点呢？ 取的中点2.5，用计算工具算得 因为，所以零点在区间内. 再取区间的中点2.75，用计算工具算得 因为，所以零点在区间内. 由于， 所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小.这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在的范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内任意一点都可以作为函数零点的近似值. 抽象概念，内涵辨析 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 0.215 0.066 -0.009 区间的一个端点 区间内任意一点 区间精确度为ε： 新知1：二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 注：判断一个函数能否用二分法的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点. 新知2：用二分法求函数零点的一般步骤： 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点初始区间，验证. 2.求区间的中点. 3.计算，并进一步确定零点所在的区间： (1)若(此时)，则就是函数的零点； (2)若(此时)，则令 (3)若(此时)，则令 4.判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或)；否则重复步骤2~4. 由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解. 【例1】（2023·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点； 而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点； 故选：C 题型一：用二分法求近似解的条件 典型例题 【对点训练1】（2023·高一课时练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件， 而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点． 故选：C． 题型一：用二分法求近似解的条件 典型例题 【对点训练2】（2023·全国·高一专题练习）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ，且在定义域上递增， 所以区间、、对应函数都为正，只有区间中函数值有正有负． 故选：A 题型一：用二分法求近似解的条件 典型例题 【例2】（2023·全国·高一随堂练习）用二分法求方程的近似解．（精确度为0．1，可以使用计算器） 【解析】画出和的图像， 由图知：函数和只有一个交点． 方程的近似解等价于函数 的零点． ， ， 所以取初始区间为，用二分法求解，如下表： 因为， 所以方程的近似解可取为5.7 题型二：用二分法求方程近似解的过程 典型例题 【对点训练3】（2023·高一课时练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 ． 【答案】 【解析】设， 则，， ∴第一次取区间的中点， ，∴， ∴的零点所在的区间为， ∴第二次取区间的中点， ，∴， ∴的零点所在的区间为， ∴第三次取区间的中点． 故答案为：． 题型二：用二分法求方程近似解的过程 典型例题 【对点训练4】（2023·全国·高一随堂练习）已知函数在区间内有零点，求方程在区间内的一个近似解．（精确度为0．1） 【解析】根据题意，函数在区间上的零点就是方程在区间内的解， 由于函数和均为单调递增函数， 所以在区间上递增， ， ， ， 则的零点在上， 又由，而，则的零点在上， 又由， 而， 则的零点在上， 又由， 而， 则的零点在上， 此时满足精确度为0.1， 则函数在区间上的零点近似为1.2， 故方程在区间内的近似解为1.2 题型二：用二分法求方程近似解的过程 典型例题 【例3】（2023·全国·高一随堂练习）借助计算器或计算机，用二分法求函数在区间内的零点的近似值（误差不超）． 【解析】在上单调递