4.5.1 函数的零点与方程的根（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的根 第四章 指数函数与对数函数 情景引入 问题1：观察下表，求出方程的实数根，并写出函数图象与轴交点的坐标. 函数y=f(x) 方程f(x)=0的根 函数f(x)的图象与x轴的交点 y=x2-3x+2 y=x+1 y=x2-2x+3 y=2x-4 x1=1, x2=2 x1=x2=1 无实数根 x=2 (1,0) (2,0) (1,0) 无 (2,0) 方程2x-4=0的根是2 函数f(x)的图象与x轴的交点横坐标是2 函数f(x)=2x－4的零点是2 新知1：函数零点的定义 1.函数零点的定义：方程f(x)=0的实数根x叫做函数f(x)的零点。 ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 抽象概念，内涵辨析 在端点a,b的函数值异号，即f (a)·f (b)<0 函数在区间[a,b]上有零点： 零点附近的区间[a,b]上的函数图象连续不断且“穿过”x轴(一上一下) 新知2：函数零点存在定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 条件：①f(x)在[a,b]连续，②f (a)·f (b)<0 结论：函数f(x)在(a,b)内至少有1个零点. ①两个条件缺一不可； 若二缺一，则f(x)在(a,b)内可能有零点、也可能无零点. ②其逆定理不成立. 即:若f(x)在(a,b)内有零点，f(a)·f(b)<0不一定成立. 【例1】（2023·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解方程， 即， 解得或，因此，函数的零点为． 故选：． 题型一：求函数的零点 典型例题 【对点训练1】（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）函数的零点为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】首先函数的零点不是点，而是数，故排除C，D选项， 而函数的定义域为，则排除A选项， ，故函数的零点为1， 故选：B． 题型一：求函数的零点 典型例题 【例2】（2023·江苏·高一假期作业）关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意得是方程的两不等实根， 所以， ，， 所以，即， 又，所以． 故选：A 题型二：根据零点求函数解析式的参数 典型例题 【对点训练2】（2023·高一课时练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（    ） A．0， B．0， C．0，2 D．2， 【答案】A 【解析】因为函数的零点为2，所以， ∵，，∴，∴． 令，得或． 故选：A． 题型二：根据零点求函数解析式的参数 典型例题 【例3】（2023·全国·高一专题练习）的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在上单调递增， 且， 所以函数零点所在区间为． 故选：C 题型三：零点存在性定理的应用 典型例题 【对点训练3】（2023·全国·高一专题练习）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数， 因为和在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 且函数的图象是一条连续不断的曲线， 因为， ，， 由的单调性可知，， 则， 故函数的零点所在的区间为， 即方程的根属于区间． 故选：C 题型三：零点存在性定理的应用 典型例题 【例4】（2023·全国·高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数的一个零点在区间内 得， 解得， 故选：A 题型四：根据零点所在区间求参数范围 典型例题 【对点训练4】（2023·全国·高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】和在上是增函数， 在上是增函数， 只需即可，即，解得． 故选：B． 题型四：根据零点所在区间求参数范围 典型例题 【例5】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 如图所示，根据二次函数及指数函数的图象和性质可作出分段函数的图象， 可知 而有两个不同零点等价于函数与函数有两个不同交点， 结合图象可知． 故答案为： 题型五：根据零点的个数求参数范围 典型例题 【对点训练5】（2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上恰有一个