4.4.3 不同函数增长的差异（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.4.3 不同函数增长的差异 第四章 指数函数与对数函数 情景引入，温故知新 问题1：请同学们选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数的特点吗？不妨以函数和为例. 新知1：不同函数的增长差异 新知1：不同函数的增长差异 一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似.即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度. 新知1：不同函数的增长差异和 问题2：请同学们选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数的特点吗？不妨以函数和为例. 一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长最终会慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有. 新知1：不同函数的增长差异 新知1：不同函数的增长差异 【例1】（2023·全国·高一随堂练习）下列函数增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数为单调递增的指数函数，函数为二次函数，为递增的对数函数，为递增的一次函数， 根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快． 故选：A． 题型一：几个函数模型增长差异的比较 典型例题 【对点训练1】（2023·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）已知，则下列命题中正确的是（    ） A．，，有成立 B．，，有成立 C．，，有成立 D．，，有成立 【答案】A 【解析】因为，所以函数、、均为单调递增函数． 而且各类函数的增长速度为：指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数． 所以，，，有成立． 故选：A． 题型一：几个函数模型增长差异的比较 典型例题 【对点训练2】（2023·河南开封·高一校考阶段练习）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快． 故选：D． 题型一：几个函数模型增长差异的比较 典型例题 【例2】（2023·全国·高一校联考开学考试）某公司每个仓库的收费标准如下表（表示储存天数，（万元）表示天收取的总费用）． （1）给出两个函数且，且，要从这两个函数中选出一个来模拟表中之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由． （2）该公司旗下有个这样的仓库．每个仓库储存货物时，每天需要元的运营成本， 不存货物时仅需元的成本．一批货物需要存放天，设该批货物存放在个仓库内， 其余仓库空闲．要使该公司这天的仓库收益不少于元，则的最小值是多少？ 注：收益收入成本． 【解析】（1）若选择函数且， 将代入函数得：，解得：，； 当时，； 当时，； 可知当或时，与实际数据差距较大； 若选择函数且， 将代入函数得：， 解得：，； 当时，；当时，； 可知当或时，与实际数据比较接近； 综上所述：选择且较好． （2）设该公司这天的仓库收益为元， 由表格数据可知：若货物存放天，每个仓库收费元， ， 由得：，的最小值为． 题型二：函数模型的选择问题 典型例题 【对点训练3】（2023·山东·高三统考阶段练习）某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%．即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立． （1）现有两个奖励函数模型：①；②．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ （2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围． 【解析】（1）对于函数模型：①，验证条件③：当时而 即不成立，故不符合公司要求； 对于函数模型：②， 当时，条件①是增函数满足； ∴，满足条件②； 对于条件③：记 则 ∵ ∴当时， ∴恒成立，即条件③也成立． 故函数模型： ②符合公司要求． （2）∵，∴函数符合条件①； 由函数符合条件②， 得，解得：； 由函数符合条件③， 得对恒成立， 即对恒成立． ∵，当且仅当，即x=50时等号成立， ∴ 综上所述，实数a的取值范围． 题型二：函数模型的选择问题 典型例题 【对点训练4】（2023·山西·高一统考开学考试）某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 为描述该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型供选择：；；． （1