4.2.2指数函数的图象和性质（2）讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.2 指数函数的图象和性质(2) 【知识点一】比较幂的大小 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 【知识点二】指数函数型复合函数 指数函数与其他函数复合后形成复合函数，如y＝af(x)和y＝f(ax)(a>0，且a≠1)．通过对这些复合函数性质的研究，搞清指数函数与其他函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数的性质的区别与联系． 形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断，常用复合函数法．利用复合函数的单调性：当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 【类型一】指数函数单调性的应用 【命题视角1】比较大小 【例1】比较下列各题中两个值的大小： (1)()－1.8，()－2.5； (2)()－0.5，()－0.5； (3)0.20.3,0.30.2. 【小结】指数幂的大小比较问题的三种类型及解法 【变式训练1】设a＝0.60.4，b＝0.40.6，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系为(　 　) A．a<b<c　　　　　　 B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a 【命题视角2】解简单的指数不等式 【例2】求满足下列条件的x的取值范围： (1)3x－1>9x；(2)0.2x<25；(3)a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)． 【思路分析】利用指数函数的单调性解不等式需将不等式两边凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小关系． 【变式训练2】(1)解不等式； (2)若a－3x>ax＋4(a>0且a≠1)．求x的取值范围． 【类型二】与指数函数有关的复合函数的单调性 【例3】(1)已知函数，求其单调区间及值域． (2)求函数y＝9x－2·3x＋3的单调区间，并求出其值域． 【思路分析】求复合函数的单调递增(减)区间，注意正确分解函数，然后利用“同增异减”判断增减区间． 【小结】复合函数单调性的判断原则是“同增异减”. 【变式训练3】求函数y＝的单调区间． 【类型三】指数函数性质的综合应用 【例4】已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)判断函数f(x)的单调性(只写出结论即可)； (3)若对任意的t∈[－1,1]，不等式f(t2－2t)＋f(k－t2)<0恒成立，求实数k的取值范围． 【变式训练4】已知函数f(x)＝(ax－a－x)(其中a>0且a≠1)． (1)判断函数y＝f(x)的单调性和奇偶性； (2)当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的取值范围． 【课堂作业】 1．函数的单调递增区间为(　 　) A．(－∞，＋∞)　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1) 2．若，则实数a的取值范围是(　 　) A．(1，＋∞) B. C．(－∞，1) D. 3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(　 　) A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 4．函数的值域为____________ 5．已知函数. (1)求此函数的定义域，值域． (2)确定函数的单调区间． 【课堂小结】 1．比较两个指数式值大小的主要方法 (1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性． (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn. 2．指数型函数的单调性 (1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数． (2)形如ax>ay的不等式，当a>1时，ax>ay⇔x>y；当0<a<1时，ax>ay⇔x<y. 答案解析 【类型一】指数函数单调性的应用 【命题视角1】比较大小 【例1】解：(1)因为0<<1，所以函数y＝()x在其定义域R上单调递减，又－1.8>－2.5， 所以()－1.8<()－2.5. (2)方法一：在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝()x与y＝()x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得()－0.5>()－0.5. 方法二：构造幂函数y＝x－0.5＝(x>0)， 则该函数是减函数，