3.3.2 抛物线的简单几何性质（6大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.2 抛物线的简单几何性质 重点：1、根据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、解决抛物线弦长、中点等问题； 难点：1、抛物线几何性质的应用；2、直线与抛物线位置关系的综合问题。 一、四种抛物线的几何性质 标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 二、焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. 1、抛物线，. 2、抛物线，. 3、抛物线，. 4、抛物线，. 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式. 三、直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 四、直线与抛物线相交弦长问题 1、一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）. （2）, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）直线的方程为. 2、焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 题型一 由抛物线方程研究其几何性质 【例1】（2023秋·江苏南通·高二统考阶段练习）已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·江苏盐城·高二校考阶段练习）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-2】（2023秋·江苏盐城·高二校考阶段练习）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【变式1-3】（2023秋·江苏南通·高二校考阶段练习）（多选）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形可能是（ ） A． B． C． D． 题型二 由抛物线几何性质求标准方程 【例2】（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（ ） A． B．或 C． D．或 【变式2-1】（2023·全国·高二假期作业）已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ） A． B．或 C． D．或 【变式2-2】（2023春·安徽六安·高二校考开学考试）已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023秋·高二课时练习）已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.求抛物线的方程； 题型三 判断直线与抛物线位置关系 【例3】（2023秋·高二课时练习）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【变式3-2】（2023秋·高二课时练习）（多选）已知直线l过定点，则与抛物线