2024年湖南省长沙市中考二轮复习专题讲义（压轴题-新定义题型-特殊点问题）

教师 科目 数学 备课时间 学生 年级 初三 上课时间 课题：新定义题型-函数综合-特殊点问题 课型：复习 课题出处：一次函数、二次函数 学生主要问题： 1.新定义的理解与转化不清楚 2.一次函数、二次函数最值问题、判别式、韦达定理的综合运用不清楚 教学目标： 1.掌握一次函数、二次函数的基本图象与性质 2.掌握函数图象交点个数的判断，判别式、韦达定理的运用 3.掌握两点间距离公式、中点公式的运用 教学重点与难点： 1.新定义的理解与转化 2.一次函数、二次函数最值问题、判别式、韦达定理的综合运用 教 学 内 容 题型一：特殊点问题 做题分析思路： ①分析清楚横纵坐标与的关系； ②把用表示并代入函数解析式消去，得到关于的一元一次方程或一元二次方程； ③根据题干满足的条件，判断方程根的情况 例1.（23-2九下长郡双语第一次）我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点，如点，点． （1）函数的双语点是 ； （2）函数（k为常数，目）上是否存在双语点？若存在，求出双语点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）函数的图象上只有唯一一个双语点，且当时，m的最小值为k，求实数k的值． 变式1-1.（22-2九下雅洋第一次）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，称该点为这个函数图象的“等值点”，该函数称为“等值函数”．例如：“等值函数”，其图象上的“等值点”为（1，1）． （1）在下列关于x的函数中，是“等值函数”的，请在相应题目后面的横线上打“√”． ①________； ②________； ③________． （2）若点A，点B是“等值函数”（其中m＞0）上的“等值点”，且，求m的取值范围； （3）若“等值函数”的图象上存在唯一的一个“等值点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 变式1-2.（23-2九下麓山第一次）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的两倍，则称该点为“硬核点”例如，，都是“硬核点”． （1）下列说法正确的是_______（填序号）． ①正比例函数的图象上有无数个“硬核点”； ②一次函数的图象上没有“硬核点”； ③反比例函数图象上有两个“硬核点”； ④二次函数的图象上只有一个“硬核点”． （2）已知抛物线（，均为常数）上有且只有一个“硬核点”． ①当时，求取值范围； ②当时，过反比例函数图象上的“硬核点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到直线的距离为，求的取值范围． 变式1-3.（23-1九上雅实第三次） 党二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点P为“高质量发展点”． （1）若点是反比例函数（k为常数，）的图象上的“高质量发展点”求这个反比例函数的解析式； （2）若函数（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求p的取值范围； （3）若二次函数（a，b是常数，）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令，当时，w有最大值，求t的值． 变式1-4.（22-2九下中雅入学考）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“雅点”，如（3，）与（，3）是一对“雅点”． （1）点（m，n）和它的“雅点”均在直线上，求k的值； （2）直线与抛物线的两个交点A，B恰好是一对“雅点”，其中点A在反比例函数的图象上，求此抛物线的解析式； （3）已知A（m，n）（），B为抛物线上的一对“雅点”，且满足：，，点P为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P满足，求的值． 变式1-5.（23-2九下广益第一次）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为倒数的点为“倒数点”. （1）若点是“倒数点”，则_______； （2）若一次函数图象上有两个“倒数点”M、N，若△MON的面积为，求k的值； （3）如图，已知顶点为D的二次函数与x轴交于、两点，且，交y轴于点C，过C、D两点的直线交x轴于点E，满足； ①求ac的值； ②若点是“倒数点”，且当时，y的最小值为0，求二次函数的解析式. 例2.（23-1九上雅礼期末（23-2入学考））新定义：若实数m，n满足时，就称点“雅隽致远点”. （1）判断点、是不是“雅隽致远点”？ （2）若反比例函数的图象上存在两个不同的“雅隽致远点”A，B，且，求出反比例函数的解析式； （3）已知抛物线上存在唯一的“雅隽致远点”，且当时，s的最小值为，求t值. 变式2-1.（23-2九下南雅二模）我们约定：在平面直角坐标系中，若点P（x，y）满足，我们就说点P是该平面直角坐标系内的“NY”点，图象上存在一个或以上的“NY”点的函数我们