专题19.3-5逆命题和逆定理、线段及角的平分线 2023～2024学年 沪教版（上海） 八年级数学第一学期

专题19.3-5逆命题和逆定理、线段及角的平分线 知识点1.逆命题和逆定理 1、 互逆命题：在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 2、 原/逆命题：如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题。 3、 互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。 题型1.原命题、逆命题、互逆命题 1、 命题“平行于同一直线的两直线平行”的逆命题是______________ 答案:“如果两直线平行，那么这两条直线平行于同一直线” 2、 下列各命题中，真命题的是( ) A、每个命题都有逆命题 B、真命题的逆命题一定是真命题 C、每个定理都有逆定理 D、假命题的逆命题一定是假命题 答案：A 3、下列命题的逆命题为假命题的是 ( ) A、如果一元二次方程ax² + bx +c =0 (a≠0)没有实数根，那么b² - 4ac < 0 B、线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C、如果两个数相等，那么它们的平方相等 D、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 答案：C 4、命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是___________ 答案: 两个角相等三角形是等腰三角形 题型2.逆定理、互逆定理 1、下列说法中，正确的是 ( ) A、所有的命题都有逆命题 B、真命题的逆命题一定是真命题 C、所有的定理都有逆定理 D、假命题的逆命题一定是假命题 答案：A 2、下列命题中,与“同旁内角互补,两直线平行”成为互逆定理的是( ) A、同旁内角不互补,两直线平行 B、两直线平行,同旁内角互补 C、同旁内角不互补,两直线不平行B D、两直线不平行,同旁内角不互补 答案：C 3、下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是 ( ) A、同旁内角不互补，两直线平行 B、两直线平行，同旁内角互补 C、同旁内角不互补，两直线不平行 D、两直线不平行，同旁内角不互补 答案：C 知识点2.线段的垂直平分线 定理:线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 三角形外心：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点。 题型3.线段垂直平分线的性质定理 1、如图△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB = CD，∠C等于20度，那么∠A=_______度 答案：40 2、如图，△ABC中，AB = AC，DE是AC的中垂线，△BCE的周长为14，BC =5,那么△ABC的周长是 ( ) A、24 B、23 C、19 D、18 答案B 题型4.线段垂直平分线的性质定理的逆定理 1、下列说法中错误的是 A、过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线 B、线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等 C、线段有且只有一条垂直平分线 D、线段的垂直平分线是一条直线 答案：A 2、如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（　　）的垂直平分线上． A．AB B．AC C．BC D．不能确定 答案B 3、已知：如图，E是等腰三角形ABC的腰AC上的任意一点，ED⊥BC，垂足为D，延长DE交BA的延长线于点F．求证：点A在EF的垂直平分线上． 知识点3.角的平分线定理及其逆定理 1、定理:角的平分线上的点到这个角两边的距离相等 2、逆定理:在一个角的内部 (包括顶点) 且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 3、三角形内心：到三角形三个顶点距离相等的点是三条角平分线的交点。 题型5.角的平分线定理 1、如图，已知OC是∠AOB的平分线，DC//OB，那么△DOC一定是__________(填按边分类的所属类型)三角形 答案：等腰 2、如图所示，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和外角∠ACE，若∠D = 24°，则∠A=____度 答案：48 3、如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A =30°，BD是∠ABC的平分线，若BD=10，则CD=_______ 答案：5 题型6.角的平分线定理的逆定理 1、如所示图形中，若PE=PF，能判断点P在∠EOF的平分线上的是（　　） A． B． C． D． 答案D 2、如图，已知：△ABC的∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D．求证：AD是∠BAC的平分线． 知识点4.线段的垂直平分线与角的平分线的应用 1、垂直平分线与三角形周长关系 2、垂直平分线与三角形中的角度关系 3、垂直平分线与全等 4、角平分线与