第1章 1 专项3 等腰三角形中的“手拉手”模型-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

共顶点的等腰直角三角形　　 (哈尔滨中考)已知，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N. (1)如图①，求证：AE＝BD； (2)如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形． ①　　 　　② 共顶点的等边三角形　　 如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接AD，BE交于点M，连接CM，试探究线段BM与线段AM，CM之间的数量关系，并说明理由． 在△ABC中，AB＝AC，点D是射线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE. (1)如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上． ①求证：∠BCE＋∠BAC＝180°； ②当四边形ADCE的周长取最小时，求BD的长． (2)若∠BAC≠60°，当点D在线段BC的延长线上移动时，如图②，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由． ①　　　　② 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项3　等腰三角形中的“手拉手”模型 1．(1)证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，DC＝EC， ∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD. ∴∠BCD＝∠ACE. 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD. (2)解：△ACB≌△DCE，△EMC≌△BNC， △AON≌DOM，△AOB≌△DOE. 2．解：BM＝AM＋CM.理由如下： 如答图，在DA上取点F，使DF＝ME，连接CF. ∵△ABC与△EDC都是等边三角形， ∴AC＝BC＝AB，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°. ∴∠BCA＋∠ACE＝∠ECD＋∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD.∴△BCE≌△ACD. ∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC. 在△MEC和△FDC中， ∴△MEC≌△FDC(SAS). ∴MC＝FC，∠MCE＝∠FCD. ∴∠MCF＝∠MCE＋∠ECF＝∠FCD＋∠ECF＝∠ECD＝60°. ∴△MCF是等边三角形．∴MC＝MF. ∴BM＝BE－ME＝AD－DF＝AM＋MF＝AM＋CM. 3．(1)①证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC. ∴∠BAD＝∠CAE. 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE.∴∠ABD＝∠ACE. ∴∠BCE＋∠BAC＝∠BCA＋∠ACE＋∠BAC＝∠BCA＋∠ABD＋∠BAC＝180°. ②解：∵△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2， ∴BC＝2. ∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE. ∴四边形ADCE的周长＝AD＋DC＋CE＋AE＝AD＋DC＋BD＋AE＝BC＋2AD. ∴当AD最短，即AD⊥BC时，四边形ADCE的周长最小． ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴BD＝CB＝×2＝1. (2)解：∠BCE＋∠BAC＝180°. 理由：如答图，设CE与AD交与点F. ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE. 又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE. ∴∠ADB＝∠AEC. ∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECD. ∵∠BAC＝∠FAE，∴∠BAC＝∠ECD. 又∵∠BCE＋∠ECD＝180°， ∴∠BCE＋∠BAC＝180°. 学科网（北京）股份有限公司 $$