第1章 1 专项2 构造等腰三角形的常用方法-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

构造“三线合一”图形　　 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF. 求证： (1)ED＝DF； (2)ED⊥DF. 作平行线构造等腰三角形　　 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F，求证：DF＝EF. 补形法构造等腰三角形　　 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD. (1)求证：BE＝CE； (2)求证：AE⊥DE； (3)求证：AE平分∠DAB. 倍长中线法构造等腰三角形　　 如图，在△ABC中，AD是边BC的中线，E是AC上一点，BE交AD于点F.若AE＝EF，求证：BF＝AC. 截长补短法构造等腰三角形　　 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项2　构造等腰三角形的常用方法 1．证明：(1)如答图，连接AD. ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C. 又∵∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°.∴AD＝BD. 在△BED和△AFD中， ∴△BED≌△AFD(SAS).∴ED＝FD. (2)∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF. ∴∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°， ∴∠EDF＝90°，∴ED⊥DF. 2．证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，如答图， ∴∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠DMB，∴BD＝MD. ∵BD＝CE，∴MD＝CE. 在△DMF和△ECF中， ∴△DMF≌△ECF(AAS)，∴DF＝EF. 3．证明：(1)如答图，延长AB，DE交于点F. ∵AB∥CD，∴∠F＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F.∴AD＝AF. ∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，∴DC＝FB. 又∵∠DEC＝∠FEB， ∴△DCE≌△FBE，∴BE＝CE. (2)由(1)知△DCE≌△FBE，AD＝AF， ∴DE＝EF.∴AE⊥DE. (3)∵DE＝EF，AD＝AF，∴AE平分∠DAB. 4．证明：如答图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG. 在△BDG和△CDA中， ∴△BDG≌△CDA(SAS)， ∴BG＝AC，∠G＝∠CAD. ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE. 又∵∠BFG＝∠AFE， ∴∠CAD＝∠BFG， ∴∠G＝∠BFG， ∴BF＝BG，∴BF＝AC. 5．证明：如答图，延长BD到F，使BF＝BA，连接AF，CF. ∵∠ABD＝60°，∴△ABF为等边三角形， ∴AF＝AB＝BF，∠AFB＝60°. 又∵AB＝AC，∴AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC. 又∵∠ACD＝60°，∴∠AFB＝∠ACD＝60°， ∴∠DCF＝∠DFC，∴DC＝DF. ∴BD＋DC＝BD＋DF＝BF＝AB， 即BD＋DC＝AB. 6．解：如答图，在DC上截取DE＝BD，连接AE. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE＝90°. 在△ABD和△AED中，AD＝AD，∠ADB＝∠ADE，DB＝DE，∴△ABD≌△AED， ∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB. 又∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，CD＝DE＋EC， ∴AB＋DE＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC. 设∠EAC＝∠C＝x， ∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x，∴∠B＝2x. 在△ABC中，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°， 即2x＋120°＋x＝180°，解得x＝20°，∴∠C＝20°. 学科网（北京）股份有限公司 $$