第1章 1 专项1 分类讨论思想在等腰三角形中的应用-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

腰或底不确定时分类讨论　　 已知等腰三角形的两边长分别为6和7，求这个三角形的周长． 顶角或底角不确定时分类讨论　　 已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，求锐角∠C的度数． 若等腰三角形中一个角的度数是另一个角的两倍，求底角的度数． 点的位置不确定时分类讨论　　 (广州一中期中)如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，OA＝10 cm，动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，那么当t＝________时，△POQ是等腰三角形． 　 (成都期中)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝69°，若点P是等腰三角形ABC的腰AC上一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的度数是________. 图形不确定时分类讨论　　 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角度数为________. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一条腰的夹角为40°，求该等腰三角形的底角度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项1　分类讨论思想在等腰三角形中的应用 1．解：①当底边长为6，腰长为7时，符合三角形三边关系，周长为6＋7＋7＝20； ②当底边长为7，腰长为6时，符合三角形三边关系，周长为7＋6＋6＝19. 2．解：若∠C为底角， ①如答图①，当AB＝AC时， ∵AD⊥BC，∴BD＝CD. ∵AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠C＝45°. ②如答图②，当AB＝BC时， ∵AD＝BC，∴AD＝AB， 又∵AD⊥BC，∴∠ABD＝30°，∴∠C＝75°. ③如答图③，当AB＝BC时， ∵AD＝BC，∴AD＝AB， 又∵AD⊥BC，∴∠DBA＝30°，∴∠C＝15°. 若∠C为顶角，如答图④，AC＝BC， ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∵AD＝BC，∴AD＝AC，∴∠C＝30°. 综上，∠C的度数为45°或75°或15°或30°. ① 　　②　 　③　 　④ 3．解：设这个角的度数为x. 当这个角为底角时，由三角形内角和定理可知顶角为180°－2x， 根据题意得x＝2(180°－2x)，解得x＝72°. 当这个角为顶角时，则底角为. 根据题意得x＝2，解得x＝90°，则底角的度数为＝45°.综上所述，底角为72°或45°. 4.或10　[解析]分两种情况：①当点P在OA上时，如答图①，OP＝OQ，根据题意，得PO＝AO－AP＝10－2t，OQ＝t，∴10－2t＝t，解得t＝；②当点P在OB上时，如答图②，△POQ是等边三角形，根据题意，得PO＝AP－AO＝2t－10，OQ＝t，∴2t－10＝t，解得t＝10.故当t＝或10时，△POQ是等腰三角形． ①　　　 　② 5．142°或100°　[解析]∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠BAC＝180°－50°－50°＝80°.由题意，知△EDP只能是以DE为腰的等腰三角形．如答图，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∴DG＝DH，∴点P可能在P1的位置，也可能在P2的位置．①如答图①，当点P在P1的位置时，在Rt△DEG与Rt△DP1H中，DE＝DP1，DG＝DH，∴Rt△DEG≌Rt△DP1H，∴∠AP1D＝∠AED＝69°，∴∠EDP1＝360°－69°－69°－80°＝142°.②如答图②，当点P在P2的位置时，同理，可得Rt△DEG≌Rt△DP2H，∴∠EDG＝∠P2DH，∴∠EDP2＝∠GDH＝360°－90°－90°－80°＝100°.综上，∠EDP的度数为142°或100°. ①　　　　　　　　② 6．15°或75°　[解析]当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如答图①，BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD＝AB，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°；当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如答图②，∴∠DAB＝30°，∴∠BAC＝150°，∴∠ABC＝∠ACB＝15°. ①　 　② 7．解：当等腰三角形为锐角三角形时，如答图①， BD⊥AC于点D，则∠ABD＝40°，∠ADB＝90°， ∴∠A＝90°－∠ABD＝50°，∴∠C＝∠ABC＝65°； 当等腰三角形为钝角三角形时，如答图②， BD⊥AC于点D，则∠ABD＝40°，∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°－∠ABD＝50°， ∴∠CAB＝130°，∴∠C＝∠ABC＝25°. 综上所述，该等腰三角形的底角度数为25°或65°. ①　　　　② 学科网（北京）股份有限公司 $$