第1章 1 课时4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

课时4　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 等边三角形的判定　　 (福州期中)下列三角形中，不一定是等边三角形的是(　　) A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在边AB上，连接CD.给出下列四种说法： ①当DC＝DB时，△BCD一定为等边三角形； ②当AD＝CD时，△BCD一定为等边三角形； ③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等边三角形； ④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等腰三角形． 其中正确的说法是________.(填序号) (泉州期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形． 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B，A，E在同一直线上，连接BD交AC于点M，连接CE交AD于点N，连接MN.求证： (1)BD＝CE； (2)BM＝CN； (3)MN∥BE. 含有30°角的直角三角形的性质　　 (教材P12练习变式)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是(　　) A．BD＝BC B．BD＝BC C．BD＝BC D．BD＝BC (西宁中考) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是(　　) A．∠CAD＝30° B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED (福建中考)如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于(　　) A．2 km B．3 km C．2 km D．4 km 如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10 m，AD为支柱(即底边BC的中线)，两根支撑架DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则DE＋DF等于(　　) A．10 m B．9.5 m C．5 m D．2.5 m 　 如图，在△ABC中∠A∶∠B∶∠BCA＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D，AB＝12，则DB等于(　　) A．3 B．4 C．6 D．9 (福建龙岩期中)等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为(　　) A．8 B．7 C．5 D．4 (四川泸县期末)等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1. (1)求证：BE＝AD； (2)求AD的长． (题型6变式)(烟台中考)如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF. [问题解决] 如图①，若点D在边BC上，求证：CE＋CF＝CD； [类比探究] 如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系，并说明理由． 　 ①　　　 　② (题型7变式)(常州实验初级中学期末)如图，等边三角形ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F. (1)若AD＝2，求AF的长； (2)当AD取何值时，DE＝EF? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时4　等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 【基础巩固练】 1．C　[解析]易知三个角都相等的三角形、有两个角等于60°的三角形一定是等边三角形，故A，B项不符合题意；C项，等腰三角形底边上的高与中线重合，所以一边上的高也是该边上的中线的三角形不一定是等边三角形，故C项符合题意；D项，有一个外角等于120°的等腰三角形，即有一个内角等于60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，故D项不符合题意． 2．①②④　[解析]∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.①当DC＝DB时，由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△BCD为等边三角形；②当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝30°，∴∠BCD＝∠B＝∠BDC＝60°，∴△BCD为等边三角形；③当△ACD是等腰三角形，且∠A为顶角时，△BCD不是等边三角形；④当△BCD是等腰三角形时，∵∠B＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝6