第1章 1 课时3 等腰三角形的判定和反证法-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

课时3　等腰三角形的判定和反证法 等腰三角形的判定　　 (上海普陀区期中)下列三角形中，等腰三角形的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (教材P10T4变式)一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是(　　) A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里 如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，ED∥BC，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (云南模拟)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形． Ｋ(上海奉贤区期中)如图，已知在△ABC中，D是BC上的一点，∠BAC＝90°，∠BAD＝2∠C. 求证：AD＝AB. 反证法　　 (河南平顶山期末)已知五个正数的和等于1，用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数(　　) A．都大于 B．都小于 C．没有一个小于 D．没有一个大于 (辽宁鞍山校级调研)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角． (河南信阳期中)将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积是________. (重庆中考B卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D. (1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数； (2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE＝FE. 用反证法证明：如图，已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b. (题型4变式)如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F. (1)求证：∠ABF＝∠BCD； (2)判断△BCF的形状，并说明理由． (题型5变式)如图，在△ABC中，AC>AB，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E，用反证法证明：点D与点E不重合． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时3　等腰三角形的判定和反证法 【基础巩固练】 1．C 2．C　[解析]如答图，根据题意，得∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，∴∠C＝∠CBD－∠CAB＝42°，∴∠C＝∠CAB，∴BC＝AB.∵AB＝15×2＝30(海里)，∴BC＝30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里． 3．D　[解析]∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°－72°－36°＝72°，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，∴∠AED＝∠ADE，∴△AED是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∠EDB＝∠EBD＝36°，∴△ABD，△BDE都是等腰三角形．∵∠BDC＝180°－72°－36°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴△BDC是等腰三角形．综上，等腰三角形有5个． 4．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA. ∵AD⊥BD， ∴∠B＋∠BAD＝90°，∠BDE＋∠EDA＝90°， ∴∠B＝∠BDE，∴EB＝ED， ∴△BDE是等腰三角形． 5．证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠C＝90°. 又∵∠BAD＝2∠C， ∴∠BAD＋∠DAC＝2∠C＋∠DAC＝∠B＋∠C， 即∠B＝∠C＋∠DAC. ∵∠ADB＝∠C＋∠DAC， ∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB. 6．B　[解析]已知五个正数的和等于1，用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数都小于.故选B. 7．证明：假设∠DAB是钝角或直角． ∵AB＝AC，AD是底边BC上的高，∴∠BAC＝2∠DAB. ∵∠DAB是钝角或直角， ∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理， ∴假设不成立，∴∠DAB是一个锐角． 【能力提升练】 1．10　[解析]如答图，根据折叠可知∠1＝∠2，易知∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴ED＝EB.∵BE＝5，∴DE＝5，∴重叠部分的面积＝DE·AB＝×5×4＝10. 2．(1)解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°. 又∵∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°. (2)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE. 3