第1章 1 课时4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测配套PPT课件（北师大版）

八年级数学 北师版（下册） 第一章　三角形的证明 1 等腰三角形 课时4　等边三角形的判定与含30° 角的直角三角形的性质 C ①②④ C D D C A C 等边三角形的判定　　 (福州期中)下列三角形中，不一定是等边三角形的是(　　) A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 [解析]易知三个角都相等的三角形、有两个角等于60°的三角形一定是等边三角形，故A，B项不符合题意；C项，等腰三角形底边上的高与中线重合，所以一边上的高也是该边上的中线的三角形不一定是等边三角形，故C项符合题意；D项，有一个外角等于120°的等腰三角形，即有一个内角等于60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，故D项不符合题意． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在边AB上，连接CD.给出下列四种说法： ①当DC＝DB时，△BCD一定为等边三角形； ②当AD＝CD时，△BCD一定为等边三角形； ③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等边三角形； ④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等腰三角形． 其中正确的说法是________.(填序号) [解析]∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.①当DC＝DB时，由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△BCD为等边三角形；②当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝30°，∴∠BCD＝∠B＝∠BDC＝60°，∴△BCD为等边三角形；③当△ACD是等腰三角形，且∠A为顶角时，△BCD不是等边三角形；④当△BCD是等腰三角形时，∵∠B＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝60°，∴∠ACD＝30°，∴△ACD为等腰三角形．综上，正确的说法是①②④. (泉州期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°. 在Rt△AED和Rt△CFD中，AD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△AED≌Rt△CFD，∴∠A＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形． 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B，A，E在同一直线上，连接BD交AC于点M，连接CE交AD于点N，连接MN.求证： (1)BD＝CE； (2)BM＝CN； (3)MN∥BE. 证明：(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE. ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，)) ∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD＝CE. (2)由(1)可知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM＝∠ACN. 又∵∠BAM＝∠DAE＝60°， ∴∠CAN＝180°－60°－60°＝60°＝∠BAM. 在△ABM和△ACN中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MBA＝∠NCA，,AB＝AC，,∠BAM＝∠CAN，)) ∴△ABM≌△ACN(ASA).∴BM＝CN. (3)由(2)知△ABM≌△ACN，∠CAN＝60°， ∴AM＝AN.∴△AMN是等边三角形． ∴∠ANM＝60°＝∠DAE.∴MN∥BE. 含有30°角的直角三角形的性质　　 (教材P12练习变式)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是(　　) A．BD＝ eq \f(1,2) BC B．BD＝ eq \f(1,3) BC C．BD＝ eq \f(1,4) BC D．BD＝ eq \f(1,5) BC (西宁中考) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是(　　) A．∠CAD＝30° B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED (福建中考)如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于(　　) A．2 km B．3 km C．2 eq \r(3) km D．4 km [解析]因为∠A＝60°，∠C＝90°，所以∠B＝180°－60°－90°＝30°，在Rt△ABC中，因为AC＝2 km，所以AB＝2AC＝4 k