第三章 整式及其加减—— 探索规律 讲义 2023—2024学年北师大版数学七年级上册

七年级秋季讲义 第八讲 探索规律 模块一 数字中的规律 模块二 算式中的规律 模块三 数表中的规律 模块四 图形中的规律 模块五 培优提尖 模块一 数字中的规律 知识点与方法技巧梳理： 解答数字类规律探索问题，应该从最简单的数字开始，分析数字之间存在的内在联系规律，先猜想，然后验证． 例题1 【例】下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律，可确定x的值为__________．… 1 2 1 1 2 4 3 10 3 6 5 27 4 8 7 52 n 20 m x 第1个 第2个 第3个 第4个 【变式1】下面每个表格中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律，可确定x的值为_________． … 1 2 4 9 2 3 6 20 3 4 8 35 4 5 10 54 a b 20 x 第1个 第2个 第3个 第4个 【变式2】下图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m＝__________（用含n的代数式表示）．1 2 8 2 4 35 3 6 80 n 2n m … 模块二 算式中的规律 知识点与方法技巧梳理： 数式规律问题主要是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．通过观察、分析、归纳、验证，得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律即等式的个数之间存在的规律． 例题2 【例1】观察下列等式的关系： 1 3＝1 2，1 3＋2 3＝3 2，1 3＋2 3＋3 3＝62，1 3＋2 3＋3 3＋4 3＝10 2，… 填空：1 3＋2 3＋3 3＋…＋n 3＝(____________)2 【变式】观察下列等式的关系，并填空： 1＋3＝2 2； 1＋3＋5＝3 2； 1＋3＋5＋7＝_________； 1＋3＋5＋7＋…＋( 2n－1 )＝__________； 1＋3＋5＋…＋( 2n－1 )＋( )＋( 2n－1 )＋…＋5＋3＋1＝_____________． 【例2】定义：我们把1－ 称为a的“倒数差”．如：2的倒数差是 1－ ＝ ，－1的差倒数是1－ ＝2．已知a1＝－ ，a2是a1的倒数差，a3是a2的倒数差，a4是a3的倒数差，…，依此类推，则a2019＝________． 【变式1】观察下列等式：＝，＝，＝，…，若＝符合前面式子的规律，则b 2－a＝__________． 【变式2】已知a1＝ ，a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ，…，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝__________． 【变式3】观察下列等式： 第一个等式：a1＝＝；第二个等式：a2＝＝； 第三个等式：a3＝＝；第四个等式：a4＝＝；… 按上述规律，回答以下问题： （1）用含n的代数式表示第n个等式：an＝______________＝______________； （2）式子a1＋a2＋a3＋…＋a20＝___________． 【变式4】观察下列等式： 第一个等式：a1＝＝；第二个等式：a2＝＝； 第三个等式：a3＝＝；第四个等式：a4＝＝；… 按上述规律，回答以下问题： （1）用含n的代数式表示第n个等式：an＝______________＝______________； （2）式子a1＋a2＋a3＋…＋an＝___________． 【例3】对于任意非零有理数a、b，定义运算“a⊕b”，使下列式子成立：1⊕2＝，2⊕1＝， ( －2 )⊕5＝，5⊕( －2 )＝，…，则a⊕b＝__________． 【变式】对于任意非零有理数a、b，定义运算“a⊕b”，使下列式子成立：1⊕2＝2⊕1＝3，( －3 )⊕( －4 )＝( －4 )⊕( －3 )＝，( －3 )⊕5＝5⊕( －3 )＝，…，则a⊕b＝___________． 【例4】对于正整数x，定义＝，则有＝，＝，＝，…， 求的值（其中n为正整数）． 【变式】记，则有＝＝，＝＝，…， 求的值． 模块三 数表中的规律 知识点与方法技巧梳理： 观察数表的排列规律，分析数字之间的关系，分析数字与行或者列之间的关系． 例题3 【例】将连续正整数按如下规律排列： … 若2023位于第a行，第b列，则a＋b＝__________． 【变式】将正整数按下图的规律排列，则2023位于第________行，第________列． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 … … … … … 模块四 图形规