第二章 有理数及其运算——绝对值的化简与几何意义 专项训练 2023—2024学年北师大版数学七年级上册

七年级秋季讲义 第三讲 绝对值的化简与几何意义 模块一 绝对值的化简 模块二 的化简 模块三 零点分段法 模块四 利用绝对值的几何意义求最值 知识点与方法技巧梳理： 绝对值的概念与意义 1．一个数的绝对值就是在数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作| a|，这也是绝对值的几何意义． 2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 模块一 绝对值的化简 例题1 【例题】 在数轴上表示a，b，c三个数的点的位置如图所示． （1）填空 ①＿＿＿＿． ②＿＿＿＿． ③＿＿＿＿． ④＿＿＿＿． （2）化简式子： 【变式练习】 1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式： 模块二 的化简 讨论 （1）当时，； （2）当时，． 例题2 【例1】若，求的所有可能值． 【例2】若，求的所有可能值． 【变式训练】 1．已知，则的值为＿＿＿． 2．已知，求． 3．若，，求的值． 4．若，求的所有可能值． 模块三 零点分段法 知识点与方法技巧梳理： （1）零点分段讨论法目的：解决无范围限定的化简绝对值题型。 （2）零点分段讨论法的示例： 示例1：化简 解： 示例3：化简 解： 总结： （1）零点：使绝对值等于0的未知数的值即为零点，有几个绝对值，就有几个零点。 （2）方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对值。 （3）作用：化简含有绝对值的式子且可以求最值。 例题3 【例1】已知，化简 【例2】化简 【变式训练】 1．化简 2．的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． （1）的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则＿＿＿＿． （2）的几何意义是数轴上表示＿＿的点与表示＿＿的点之间的距离，若，则x＿＿＿＿． （3）的几何意义是数轴上表示＿＿的点与表示＿＿的点之间的距离，若，则x＿＿＿＿． （4）同样道理，表示数轴上有理数x所对点到和2所对点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是＿＿＿＿． 3．（1）如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s． 若，，，则_______． （2）互不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果， 那么点A、B、C在数轴上的位置关系是（ ）. A、点A在点B、C之间 B、点B在点A、C之间 C、点C在点A、B之间 D、以上三种情况均有可能 模块四 利用绝对值的几何意义求最值 的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之和． 的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之差． 例题3 1．求的最小值 2．求的最小值 3．求的最小值 4．求的最小值 5．（1）利用绝对值的几何意义完成下题： 已知，利用绝对值的几何意义可得； 若，利用绝对值的几何意义可得或． 已知，利用绝对值的几何意义可得__________． （2） 利用绝对值的几何意义求： 的最小值____________． 的最小值为__________． 的最小值___________． 的最小值________． 归纳： 若，当________时，取得最小值． 若，当x满足___________时，取得最小值． （1）的最小值为________. （2）的最小值为________. （3）求的最大值是________，最小值是________． 6．（1）的最小值是________，此时应满足________； （2）的最小值是________，此时应满足________； （3）的最小值是________，此时应满足________. 7．我们知道，表示在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把看作，所以，就表示在数轴上对应的点到3的距离，就表示在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题 （1）当有最小值时，的取值情况是________． （2）的最小值是________． （3）已知，求的最大值和最小值． 【学习评估】 1．已知，化简＿＿＿． 2．已知、都不为0，则的值为＿＿＿． 3．如图：化简的结果是＿＿＿． 4．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简式子 5．填空 （1）当________时，取到最小值，最小值为________． （2）当________时，取到最小值，最小值为________． （3）当____