专题9.4 双曲线（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题9.4 双曲线 【核心素养】 1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养． 2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养． 知识点一 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 知识点二 双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程： （1）焦点在轴，－＝1(a>0，b>0)； （2）焦点在轴，－＝1(a>0，b>0). 2．满足条件：c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点三 双曲线的几何性质 双曲线的标准方程及其几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长． a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点四 常用结论 常用结论 1.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. (5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S＝b2·，其中θ为∠F1PF2. 常考题型剖析 题型一： 双曲线的定义及其应用 【典例分析】 例1-1．（2024·全国·高三专题练习）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（    ） A． B． C．4 D． 例1-2.（2020·浙江·统考高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.双曲线定义的主要应用 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． 4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 【变式训练】 变式1-1.（2014·全国·高考真题）已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ） A． B． C． D． 变式1-2.（2017·上海·高考真题）设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则________ 题型二：双曲线圆上的点、焦点距离问题 例2-1.（2004·天津·高考真题）设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则 A．1或5 B．6 C．7 D．9 例2-2.（2010·全国·高考真题）已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式2-1.（2007·四川·高考真题）如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（　　） A． B． C． D． 变式2-2.（2004·辽宁·高考真题）已知点，，动点满足，当点的纵坐标为时，点到坐标原点的距离是(　　) A． B． C． D．2 题型三：由a,b,c求双曲线标准方程 【典例分析】 例3-1.（2022秋·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）若双曲线的实轴长与虚轴