专题9.7 解析几何中的定值、定点和定线问题（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题9.7 解析几何中的定值、定点和定线问题 【核心素养】 通过考查解析几何中的定值、定点和定线问题，以及圆锥曲线与其它知识的交汇，凸显直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养. 知识点一 定值问题 1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值. 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 3.常见定值问题的处理方法： （1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 （2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数. 4.定值问题的处理技巧： （1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向. （2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢 （3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 知识点二 定点问题 1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路： (1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关. (2)直接推理法： ①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf (x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)； ②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组； ③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决. 2. 求解圆锥曲线中的定点问题的方法 （1）确定题目中的核心变量（此处设为） （2）利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式 （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到.常见的变形方向如下： ① 若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可 ② 若等式为含的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式） 3.一些技巧与注意事项： （1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”. （2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线，就应该能够意识到，进而直线绕定点旋转. 知识点三 定直线问题 探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法： 方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T在定直线上； 方法二是相关点法，即先设出动点T的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R的坐标，再将动点R的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T在定直线上． 知识点四 圆锥曲线综合问题处理策略 解析几何研究的问题是几何问题，研究的方法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．在几何问题转化为代数问题后，为避免运算量、计算繁琐问题，可注意以下几种常用策略： 1.借助“定义”，化繁为简； 2.设而不求，巧搭“跳板”； 3.借用参数，变更“主元”； 4.形形“相惜”，向量助攻； 5.“韦达”助力，事半功倍. 常考题型剖析 题型一： 椭圆中的定点问题 【典例分析】 例1-1．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 例1-2.（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.    (1)求椭圆的方程； (2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，则在轴上一定存在定点，使得以为直径的圆恒过点，试求出点的坐标. 【总结提升】 1.动直线l过定点问题的常