第2章 一元二次方程 数字问题和循环问题 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程--数字问题和循环问题 类型7 数字问题 常用公式 1.多位数的表示方法： 两位数：十位数字×10＋个位数字； 三位数：百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字 2. 连续数的表示方法： 三个连续的整数：n－1，n，n＋1（n为整数）； 三个连续的偶数：n－2，n，n＋2（n为偶数）或2n－2，2n，2n＋2（n为整数）； 三个连续的奇数：n－2，n，n＋2（n为奇数）或2n－1，2n＋1，2n＋3（n为整数）。 典例精析 例：有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数和原来的两位数的乘积为1 855，求原来的两位数是多少？ 审题指导 1、圈数转化条件 已知量：①8：个位数字与十位数字的和；②1 855：调换后得到的两位数与原两位数的积。 未知量：③是多少：原来的两位数（可设原来两位数的个位数字为）。 2、列表梳理关系 十位数字 个位数字 两位数 原来的 8－ 10（8－）＋ 调换后 8－ 10＋（8－） 由列表法及题意，得原来的两位数×调换后的两位数＝1855，即[10×原十位数字＋原个位 数字]×[10×原个位数字＋原十位数字]＝1855 解：设原来两位数的个位数字为，则原来两位数的十位数字为8－。 由题意，得[10×（8－）＋][10＋（8－）]＝1855， 整理，得－8＋15＝0， 解得＝3，＝5。 ∴原来两位数的个位数字为 3，十位数字为5或原来两位数的个位数字为5，十位数字为3。 答：原来的两位数是53 或 35。 习题精练 1.已知两个相邻正奇数的积是195，则较大的奇数是（ ）。 A.19 B.13 C.17 D.15 2.若两个连续偶数的积是288，则这两个偶数的和为（ ）。 A.43 或－43 B.43 C.34或－34 D.－34 3. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个两位数的个位数字与十位数字交换，那么所得的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是（ ）。 4.一个小组有若干人，新年互送贺卡（每两个人都互送1张贺卡）。若全组共送贺卡72 张，则这个小组共有（ ）人。 5.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，已知主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出（ ）个小分支。 6.（1）有一个两位数，它的大小等于它十位上的数字与个位上的数字乘积的 3 倍。已知十位上的数字比个位上的数字小2。设个位上的数字为，则可列方程为（ ）。 （化为一般式）。 （2）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9 倍比这个三位数小20。 设十位数字为，则可列方程为（ ）。 （化为一般式）。 7.（一题多解）读诗词解题： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 诗词大意是周瑜30岁当东吴都督，去世时他的年龄是两位数，并且十位上的数字比个位上 的数字小3，个位上的数字的平方等于他去世时的年龄。 请你通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄。 8.下图是某月的日历表，在这个日历表上用一个方框以如图所示的方式圈出四个数，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数。 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 9. 有三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间一个数的6倍大3，求这三个数。 类型 8 循环问题 常用公式 单循环问题：总循环次数＝ 双循环问题：总循环次数＝（－1），其中为个体。 典例精析 例：北京2022 年冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行。参加比赛的每两支队伍之间都进行一场比赛，共要比赛45 场，共有多少支队伍参加比赛？ 审题指导 1、圈数转化条件 已知量：①两支队伍之间都进行一场比赛：单循环问题；②45 场：总共进行的比赛场次 未知量：③多少支：参加比赛的队伍的数量（可设为支）。 2、画图梳理关系 注意：两支队伍之间只需要比赛一场。 每支队伍要和其他（－1）支队伍比赛一场 由图可得所有参赛队伍的支数（所有参赛队伍的支数－1）÷2＝总比赛场次。 解：设共有 支队伍参加比