第二章一元二次方程--几何围栏问题和几何长方体问题2023-2024学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程--几何围栏问题和几何长方体问题 类型 5 几何--围栏问题 常用公式 矩形的周长＝2（长＋宽） 矩形的面积＝长×宽 典例精析 例：（一题多解）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45 米），用80 米长的篱笆围一个矩形场地，怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？ 审题指导 1、圈数转化条件 已知量：①45 米：矩形场地边AB的长的最大限制值；②80 米：篱笆总长；③750平方米：围成的矩形场地的面积。 未知量：④怎样围：围成矩形场地的边BC与AB的长（方法1：可设所围矩形ABCD的边BC的长为米；方法2：可设所围矩形ABCD的边AB的长为 米）。 列表梳理关系 边BC的长/米 边AB的长/米 矩形的面积/平方米 方法1 80－2 750 方法2 750 由列表法及题意，得边BC的长×边AB的长＝围成的矩形场地的面积 解：方法1： 设所围矩形ABCD的边BC的长为米，则边AB的长为（80－2）米。 由题意，得（80－2）＝750， 解得＝25，＝15。 ∵80－2≤45， ∴≥17.5， ∴＝25， ∴80－2＝30. 答：当AB的长为30米，BC的长为25米时，则能使矩形场地的面积为750平方米。 方法2： 设所围矩形ABCD的边AB的长为米，边BC 的长为米。 由题意，得， 解得＝30，＝50 ∵≤45，∴＝30， ∴＝25. 答：当AB的长为30米，BC的长为25米时，能使矩形场地的面积为750平方米。 归纳总结 已知围栏的总长为a。 如图l，若设AB的长为，则＝； 若设BC的长为，则 。 如图2，若设AB的长为，则＝； 若设BC的长为，则 。 注意：①若有墙长的限制，则平行于墙面的边长≤墙长，注意根的取舍；②若要留个门，门宽为，则围栏相当于延长。 习题精练 1.用一条长为6 m 的铁丝围成一个面积为2 的长方形，设长方形的长为 m，则可列方程为（ ）。 A.（3＋）＝2 B.（3－）＝2 C.（6＋）＝2 D.（6－）＝2 2.如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上修建一个面积为672的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为76 m 的栅栏围成。设栅栏AB 的长为m，则可列方程为（ ）。 3.如图，有长为30 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10 米）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB 的长为米。 （1）如果要围成面积为63 平方米的花圃，那么AB 的长是多少米？ （2）能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，请求出 AB 的长；若不能，请说明理由。 4.红旗村的李师傅要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形苗圃，围墙的长为 35 米，所用铁丝网的总长是70 米。如图所示，设AB的长为米，BC 的长为米。 （1）用含的代数式表示，并写出的取值范围。 （2）当苗圃的面积是600 平方米时，求出，的值。 （3）苗圃的面积能否达到700平方米？如果能，求出，的值；如果不能，请说明理由。 5. 某市正在进行旧城改造和旅游升级，即将改造完毕的体育场外广场正在打造体育生态公园，实现体育与环境的完美结合，为周边群众创造更加舒适的健身休闲环境。体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线A一B－C表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知AB上BC，AB＝10米，BC＝70米，现计划用总长为121米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽2米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网GH隔开），为了充分利用墙体。点F必须在线段BC上。 （1）设EF的长为米，则DE＝（ ）米。（用含的代数式表示） （2）若围成的篮球场BDEF的面积为1500平方米。求EF的长。（围网及墙体所占面积忽略 不计） （3）篮球场BDEF的面积能否达到2000平方米？请说明理由。 类型6 几何--长方体问题 常用公式 长方体的底面积＝长×宽 长方体的体积＝长×宽×高 长方体的表面积＝2（长×高＋宽×高＋长×宽） 典例精析 例：如图，有一张长20cm、宽10 cm 的长方形铁皮，若在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把凸出部分折起来，做成一个底面积为96 的无盖长方体盒子，则这个盒子的高为多少厘米？ 审题指导 1、圈数转化条件 已知量：①长20cm、宽10 cm：长方形铁皮的长与宽；②96 ：折成无盖长方体盒子的底面积。 未知量：③多少厘米：长方体盒子的高（可设这个盒子的高为cm，则截去的小正方形的边长为cm）。 2、列表梳理关系 长/cm 宽/cm 高/cm 长方形铁皮 20 1