第2章 一元二次方程 动态几何问题和道路修建问题 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程--动态几何问题和道路修建问题 类型3 动态几何问题 常用公式 三角形的面积＝×底×高 路程＝速度×时间 典例精析 例：如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC边以1cm/s 的速度向点C运动。点P运动到点B时，点Q随之也停止运动。求当△PQC的面积等于16 时，运动时间为多少秒。 审题指导 1、圈数转化条件 已知量：①12cm：AB的长度；②6cm：BC的长度；③2cm/s：点P从点A向点B运动的速度；④1cm/s：点Q从点B向点C运动的速度；⑤16 ：△PQC的面积。 未知量：⑥多少秒：点P，Q相同的运动时间（可设点P的运动时间为ts，则AP＝2tcm，QB＝t cm）。 2、列表梳理关系 底（CQ）/cm 高（PB）/cm 面积/ △PQC 6－t 12－2t 16 由列表法及题意，得 ×底×高＝△PQC的面积，即 ×（BC－点Q的运动速度×时间）× （AB－点P的运动速度×时间）＝△PQC的面积 解：设运动时间为t s（0≤t≤6），则CQ＝（6－t）cm，PB＝（12－2t）cm 依题意，得 （6－t）（12－2t）＝16 整理，得－12t＋20＝0，解得＝2，＝10（不合题意，舍去）。 答：当△PQC的面积等于16时，运动时间为2 s。 习题精练 1、 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝11cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s 的速度向点C移动，点Q从点C出发沿CB以2cm/s的速度向点B移动，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动。如果P，Q分别从A，C两点同时出发，那么当 它们相距10cm时所需的时间为 （ ） A.3 s B.4 s C.5 s D.3s或1.4s 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝cm，点P从点A出发沿AB 以cm/s的速度向点B 运动。当PA＝PC时，点P运动的时间为（ ）。 A.2s B.2 s C.10 s D.10s或2s 3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm。点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动。当P，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动。 （1）几秒后，△PBQ的面积等于4 cm？？ （2）几秒后，PQ的长度等于2cm？ （3）△PQB的面积能否等于7？请说明理由。 4.如图。在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8 cm。 （1）点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动。如果P，Q分别从A，B两点同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，请求出运动时间；若不能，请说明理由。 （2）若点P沿射线AB方向从点A出发以1 cm/s 的速度移动，同时点 Q沿射线CB 方向从点C出发以2cm/s的速度移动，几秒后△PBQ 的面积为1？ 5.如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8 cm，BD＝6cm，动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度向点C运动，动点N 从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度向点D运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，若点M，N同时出发，问出发几秒后，△MON的面积是菱形ABCD面积的 ？ 类型4 几何--道路修建问题 常用公式 长方形的而积＝长×宽 平行四边形的面积＝底×高 典例精析 例：如图，在长为30 m、宽为20 m的花坛中修建两条相互垂直的等宽甬道，使剩余部分的面积为551。求甬道的宽为多少米。 审题指导 1、圈数转化条件 已知量：①30 m：花坛的长；②20 m：花坛的宽；③551：修建两条等宽甬道后剩余部分的面积。 未知量：④多少米：甬道的宽（可设为 m）。 （1）转化图形 （2）列表梳理关系 长/m 宽/m 面积/ 剩余花坛 30－ 20－ 551 由列表法及题意，得剩余花坛的长×剩余花坛的宽＝修建甬道后剩余部分的面积，即（花坛的长－甬道的宽）×（花坛的宽－甬道的宽）＝修建甬道后剩余部分的面积， 解：设甬道的宽为 m。 由题意，得（20－）（30－）＝551， 整理，得－50＋49＝0， 解得＝1，＝49（不合题意，舍去）。 答：甬道的宽为1m。 归纳总结 解决这类问题，可利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条道路移动一下，化零为整 常见的问题解题技巧：