4.5 相似三角形的性质（讲+练，九大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

4.5 相似三角形的性质 1.了解三角形重心的概念和重心分每一条中线成 1:2的两条线段的性质 2.掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这两个性质,并能运用上述两个性质解决简单的几何问题 3.能运用相似三角形的知识解决简单的实际问题 知识点一 三角形的重心 1.三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.如图所示,点 D,E,F分别为边 BC，CA，AB的中点，则点G为AABC的重心. 2.三角形重心的性质 三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段. 由图可知,DG:GA =EG:GB =FG:GC =1:2 注意： 重心分每条中线的比为重心到中点与重心到相应顶点的线段长度的比,比值为 1:2不要记错哪两条线段的长度的比为 1:2. 即学即练1（2023·浙江·统考中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 即学即练2（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 知识点二 相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2.相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 如图所示，且相似比为,即 若，分别为两个三角形的高,则,即相似三角形对应高的比等于它们的相似比. 若，分别为两个三角形的对应角平分线,则,即相似三角形对应角平分线的比等于它们的相似比. 同理可以推出相似三角形对应中线的比也等于它们的相似比. 注意：我们也可以得到：，,,.因此，以上结论可概括为相似三角形对应线段的比等于相似比. 3.相似三角形周长的比等于相似比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，，且相似比为,则,即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 提示： 在两相似三角形中，“相似比=周长之比=对应线段之比”,这三者之间可以互相进行等量转化.(2)面积比=(相似比)²;相似比= 即学即练1（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　）    A． B． C． D． 即学即练2（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知相似三角形的相似比为9：4，那么这两个三角形的周长比为（　　） A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．81：16 相似三角形的对应角、对应边的找法与全等三角形的对应角、对应边的寻找规律一样.一般地,公共角、对顶角等是对应角,最大(小)的角对应最大(小)的角,最长(短)的边对应最长(短)的边. 知识点三 相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用的主要类型 (1)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 (1)如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . (2) 如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 3利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△G