4.4 两个三角形相似的判定（讲+练，9题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

4.4 两个三角形相似的判定 1. 掌握判定三角形相似的预备定理，并了解它的证明过程 2. 掌握三角形相似的判定定理，了解它的证明过程,并会灵活运用三角形相似的判定定理判定两个三角形相似 3. 能利用三角形相似解决简单的实际问题 知识点一 相似三角形的预备定理 定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 因为,所以. 注意：(1)和（2）一般称为“A字型”，（3）一般称为“X字型” 即学即练1（2020·浙江金华·九年级期末）如图，中，D是边上一点，交于点E，连接，交于点F，则下列结论错误的是（    ）.    A． B． C． D． 知识点二 相似三角形的判定定理1 定理:两角分别相等的两个三角形相似. 如图,如果,,那么. 提示 (1)该判定定理也说明了在三角形中,确定了两个角的大小即可确定该三角形的形状 (2)在两个直角三角形中若有一组锐角对应相等,则这两个直角三角形相似 (3)在等腰三角形中,若有顶角或底角对应相等,则这两个三角形相似，但要注意有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似.如顶角为30°与底角为30°的两个等腰三角形不相似. 即学即练1（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，D是上一点，，．求证：．    即学即练2（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，中，，点分别在的边上，且．    (1)求证：． (2)如果，求的长． 知识点三 相似三角形的判定定理2 定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 即学即练1（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，、相交于点，已知，，，．求证：． 即学即练2（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，D，E分别为边上两点，且，，，．求证：．    知识点四 相似三角形的判定定理3 定理:三边成比例的两个三角形相似. 如图,如果,那么 即学即练1（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）下列证方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2021春·九年级课时练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： （1），，∠A=40° ，，； （2），，， ，，． 知识点五 直角三角形相似的判定方法 1.判定方法1 由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 2.判定方法2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.如图 ,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 即学即练 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)试证明△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； 知识点六 常见相似三角形模型 1. 平行线型 条件:如图所示,. 结论:, 2. 旋转型 条件所示, 结论: 3.斜交型 条件:如图(1)(2)所示， 结论:,. 条件:如图(3)(4)所示, 结论:,. 4.一线三等角型 条件:如图（1）所示，； 如图（2）所示，. 结论:,. 即学即练（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，下列条件不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 题型1 三角形相似的判定 例1（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 举一反三1（2018春·广东东莞·九年级统考期中）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由 （1）AB=12，BC=15，AC=24，A′B′=25，B′C′=40，C′A′=20 （2）AB=3，BC=4，AC=5，A′B′=12，B′C′=16，C′A′=20 举一反三2（2021·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考二模）如图，在△ABC中，AC＝4，CD＝x，BC＝y，点D在BC边上． （1）当CD＝2，BC＝8时，判断△ABC与△DAC是否相似？请说明理由． （2）当∠CAD＝∠B时，求y关于x的函数关系式． 题