4.3 相似三角形（讲+练，3题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

4.3 相似三角形 1. 了解相似三角形的概念,会用符号表示两个三角形相似 2. 能运用相似三角形的概念判定两个三角形相似 3. 理解“相似三角形的对应角相等,对应边成比例”的性质 知识点一 相似三角形 1. 概念 三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. 2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应顶点:点和点,点和点,点 和点; (2)对应角:和,和,和; (3)对应边:和，和,和. 3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为 4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 注意： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 即学即练 如图，在中，D，E分别是边，上的点，且，已知，，，，，.利用相似三角形的定义说明.(补全解题过程） 解：∵______，______，______， ∴______=______=______. ∵， ∴，. ∵， ∴. 知识点二 相似三角形的性质 相似三角形的对应角，对应边成比例. 即学即练 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由 （1）AB=12，BC=15，AC=24，A′B′=25，B′C′=40，C′A′=20 （2）AB=3，BC=4，AC=5，A′B′=12，B′C′=16，C′A′=20 题型1 相似三角形概念的应用 例1 若，且与的相似比为m，与的相似比为n，则（.）： A． B． C． D． 举一反三1 如图，△ABC∽△DEF，AB＝3，BC＝8，EF＝4，求线段DE的长． 举一反三2（2022秋·江苏徐州·九年级统考阶段练习）如图，在中和中，，，，和相似吗？为什么？    题型2 应用相似三角形的性质解决实际问题 例2（2023·四川成都·校考一模）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为和，另一个三角形的最长边长为，则它的最短边为（ ） A． B． C． D． 举一反三1 已知相同时刻的物高与影长成比例．如果一电视塔在地面上的影长为180 m，同一时刻高为2 m的竹竿的影长为3 m，求电视塔的高是多少？ 举一反三2（2023秋·全国·九年级专题练习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 题型3 与相似三角形的性质有关的探究题 例3（2020秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠BCD＜90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，试在边AB上确定点P的位置，使得以P、C、D为顶点的三角形是直角三角形． 举一反三1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP的长；若不存在，请说明理由． 举一反三2如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 一、单选题 1．（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）给出下列结论： ①任意两个等边三角形相似 ②顶角对应相等的两个等腰三角形相似 ③两条边对应成比例的两个直角三角形相似 其中正确的是(  ) A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 2．（2023春·重庆·九年级专题练习）如图所示的两个三角形相似（图中给出部分数据），则的值是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2020·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 5．（2022秋·河北石家庄·九年级统考期中）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为，则它的最长边为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023秋·九年级课前预习）如图，有三个三角形，其中相似的是