5.4.1 二项式定理的推导（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

5.4.1 二项式定理的推导 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示. 排列数公式： 其中： 温故知新 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示. 组合数公式： 其中： 温故知新 组合数性质： 判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. 艾萨克·牛顿 Isaac newton (1643—1727) 英国科学家。 他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家。 自然哲学的数学原理 情景导入 牛顿的思考： 1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的《无穷算术》… 体验感知 ①展开式中这 ②展开式中各项的系数是如何确定的？ ■请你观察 (a+b)2 (a+b)3 的展开式并思考： a2 ab ba b2 种类型的项是如何得到的？ 三 四 清除 探究发现 问题:①(a+b)4的展开式中会有哪几种类型的项？ 4 1 2 3 清除 ②(a+b)4的展开式中各项的系数各是多少？ 0个b， 4个a， 1个b， 3个a， 2个b， 2个a， 3个b， 1个a， 4个b， 0个a， 探究发现 问题3:你能将 问题4:你能猜想(a+b)n的展开式吗？ (a+b)3 (a+b)2 (a+b)1 的展开式写成类似的形式吗？ 证明思路： an-rbr是从n个(a+b)中取r个b, n-r个a 相乘得到的, 有 种情况可以得到an-rbr, (n∈N*) . 探究发现 (n∈N*) 1 2 故每一项都是an-rbr的形式， 这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的， r=0, 1, …, n; 猜想: ①展开式中会有哪几种类型的项？ ②展开式中各项的系数如何确定？ (a+b)n是n个(a+b)相乘， (binomial theorem) 二项式定理: 因此, 该项的系数为 展开式中的每一项都是从 (binomial theorem) 注: (4)二项展开式的通项： (3)系数： (1)公式右边叫作(a+b)n的二项展开式, 概念理解 二项式定理: (n∈N*) (2)各项的次数都等于n; 共n+1 项;   × × × √ 巩固提升     答案：B 3．(x＋2)6的展开式中x3的系数是(　　) A．20 B．40 C．80 D．160   答案：D     答案：24 例1、 解: 第三项的系数 第三项的二项式系数 第三项 通项 二项式定理 说明： （1）它是 的展开式的第 项，这里 通项公式 练一练 2 展开式的第2项为_______, 展开式的第2项为 _______, 展开式的通项为_______. （3）利用通项求指定项，特征项。 第ｋ＋１项二项式系数 （2） 与 取值无关； 变式 例3、化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1. 公式的逆用！ 变式     答案：C　(2)61 变式(x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数是________． 答案：61   例4(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数是_ _．   答案：－768 变式　(1)(x2＋3x－1)4的展开式中x的系数为(　　) A．－4 B．－8 C．－12 D．－16   答案：C　     答案：D　       问题探究: (1)今天是星期五，那么7天后 (4)如果是 天后的这一天呢？ 的这一天是星期几呢? (2)如果是15天后的这一天呢？ （星期五） (3)如果是24天后的这一天呢？ （星期六） （星期一） 问题探究: 余数是1， 所以是星期六 (3)今天是星期五，那么 天后 的这一天是星期几？ C D -9880 (2)二项展开式的通项： 1.二项式定理： 2．思想方法 (1)二项式系数： (2) 用计数原理分析二项式的展开过程. (1) 从特殊到一般的数学思维方式. 在展开式中含的项的系数为