3.1-3.3 一元一次方程及其解法 讲义2023-2024学年人教版七年级数学上册

一元一次方程及其解法 3.1从算式到方程 【要点梳理】 一、方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，方程的解也可叫做方程的根. 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 二、一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程. 要点诠释： （1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． （2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是已知数) . （3）一元一次方程的最简形式是：ax＝b（其中a≠0，a,b是已知数）. 三、等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　等式的性质1：等式两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式，即：如果，那么 　　等式的性质2：等式的两边都乘同或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，即：如果，那么； . 等式的性质3：如果，那么.（对称性） 等式的性质4：如果，，那么.（传递性） 【典型例题】 例1．下列各式哪些是方程？ ①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6； ④2m-3n＝0； ⑤3x2-2x-1＝0； ⑥x+2≠3； ⑦； ⑧． 【变式】下列说法中正确的是( ). A．2a-a=a不是等式 B．x2-2x-3是方程 C．方程是等式 D．等式是方程 例2．检验下列各数是不是方程的解． (1)x＝12 (2) 【变式】下列方程中，解是x=3的是( ) A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D． 例3．已知方程①；②0.4x＝11；③；④y2-4y＝3；⑤t＝0；⑥x+2y＝1．其中是一元一次方程的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x＝0；③ax＝b；④． 例4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果，那么________； (2)如果ax+by＝b，b=-c，那么ax+by＝________； (3)如果，那么＝________． 【变式】下列说法正确的是( )． A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c. B．在等式a＝b两边除以c2+1，可得. C．在等式两边都除以a，可得b＝c. D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b. 5．根据问题设未知数并列出方程： 一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？ 【变式】根据下列条件列出方程． (l)x的5倍比x的相反数大10； (2)某数的比它的倒数小4； (3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？ 3.2-3.3解一元一次方程 【要点梳理】 一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，分类讨论： (1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1）当