8.1 8.1.1 变量的相关关系 8.1.2 样本相关系数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

8．1　成对数据的统计相关性 8．1.1　变量的相关关系 8．1.2　样本相关系数 [学习目标]　1.了解变量间的相关关系，会画散点图．　2.会用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．　3.结合实例，了解样本相关系数的统计含义．　4.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系．　5.结合实例，会通过样本相关系数比较多组成对样本数据的相关性． 知识点一　变量的相关关系 下列每组的两个变量是否具有函数关系？ (1)球的面积与半径的关系；(2)人的身高和体重；(3)一个角的角度和它的余弦值；(4)父母的身高和子女的身高． 提示：(1)(3)是函数关系；(2)(4)不是函数关系． 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． [微提醒]　相关关系与函数关系的异同点 (1)相同点：均是指两个变量的关系； (2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系．②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响． 判断以下每组的两个变量之间是否具有相关关系？ (1)正方形的面积与其周长之间的关系； (2)父母的身高与子女的身高之间的关系； (3)学生的学号与身高； (4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系． 解析：(1)设正方形的面积为S，周长为C，则S＝，即正方形的面积由其周长唯一确定，因此二者是函数关系，不是相关关系． (2)子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有关，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此二者之间具有相关关系． (3)学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系． (4)若汽车匀速行驶时的速度为v，行驶的路程为s，时间为t，则s＝vt，因此当速度一定时，路程由时间唯一确定，二者之间具有函数关系，而不是相关关系． 方法技巧 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 即时练1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系 B．同一物体的加速度与作用力是函数关系 C．产品的成本与产量之间的关系是函数关系 D．广告费用与销售量之间的关系是相关关系 ABD　[闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，所以B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，所以C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，所以D正确．故选ABD．] 学生用书↓第61页 知识点二　散点图 在一次对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，研究人员获得了成对样本数据如下表． 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数．根据上述数据，你能推断出人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？ 提示：画出散点图，散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，大致在一条直线附近，推断脂肪含量和年龄之间存在着相关关系． 1．从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关． 2．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． 3．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图； (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似呈什么关系吗？ 解析：(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示． (2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加呈现增加的趋势，且散点大致落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似呈线性相关关系． [变式探究] 1．(变设问)若近似呈线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系． 解析：近似拟合直线如图所示． 2．(变条件、变设问)若该种木材每单位体积的价值是80元，作出木材的价值与树龄之间关系的散点图． 解析：木材的价值与树龄之间的关系如表所示： 树龄 2 3 4