7.3 7.3.2 离散型随机变量的方差-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

7.3.2　离散型随机变量的方差 [学习目标]　1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．　2.能计算简单离散型随机变量的方差．　3.掌握离散型随机变量的方差的性质．　4.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题． 知识点一　离散型随机变量的方差 要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，应派哪位同学参赛？ 甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 提示：E(X1)＝8，E(X2)＝8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平．可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性． 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 学生用书↓第43页 [微提醒]　(1)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量取值越分散． (2)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同． (3)一般地，随机变量的方差是非负常数． 有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)． 解析：由题意可知，ξ的可能取值为6，9，12. ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P(ξ＝6)＝＝； ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 则P(ξ＝9)＝＝； ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 则P(ξ＝12)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 6 9 12 P 所以E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8， D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36. 方法技巧 求离散型随机变量的方差的步骤 第一步：理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； 第二步：求出X取每个值的概率； 第三步：写出X的分布列； 第四步：计算E(X)； 第五步：计算D(X)． 即时练1.在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的均值和方差． 解析：由题意得，ξ可能的取值为1，2，3，4，5，则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝××＝，P(ξ＝4)＝×××＝， P(ξ＝5)＝××××1＝，故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 由离散型随机变量的均值与方差的定义知E(ξ)＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，D(ξ)＝×[(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22]＝2. 知识点二　离散型随机变量方差的性质 你能推导出D与D的关系吗？ 提示：D＝a2D. 1．D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. [微提醒] 特例 方差 意义 a＝0 D(b)＝0 常数的方差等于0 a＝1 D(X＋b)＝D(X) 随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同 b＝0 D(aX)＝a2D(X) 常数a与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的a2倍 已知X的分布列如表所示： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 解析：(1)由分布列的性质知＋＋a＝1，解得a＝， 所以X2的分布列为 X2 0 1 P (2)法一：由(1)知a＝， 所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， D(X)＝2×＋2×＋2×＝. 法二：由(1)知a＝， 所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. E(X2)＝0×＋1×＝， 所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝. (3)因为Y＝4X＋3，