7.3 7.3.1 离散型随机变量的均值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

7．3　离散型随机变量的数字特征 7．3.1　离散型随机变量的均值 [学习目标]　1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．　2.掌握两点分布的均值．　3.掌握离散型随机变量的均值的性质．　4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题． 知识点一　离散型随机变量的均值 某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10，则所得的平均环数是多少？ 提示：＝＝7×＋8×＋9×＋10×＝8. 1．离散型随机变量的均值或数学期望 一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2．两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. [微提醒]　分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平． 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值． 解析：根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4，1，3，6. 所以P(X＝－4)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＋××＋××＝， P(X＝6)＝××＝＝. 所以X的分布列为 X －4 1 3 6 P 所以E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝. 方法技巧 求离散型随机变量X的均值的步骤 学生用书↓第40页 即时练1.端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值． 解析：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝. (2)X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 综上知，X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝. 知识点二　离散型随机变量均值的性质 若X，η都是离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？ 提示：X，η的分布列为 X x1 x2 … xi … xn η ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 则E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b. 离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b． [微提醒]　E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)，即两个随机变量和的均值等于均值的和. 已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E(Y)＝ ． 解析：由分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×＝. 答案： [变式探究] 1．(变设问)本例条件不变，若Y＝2X－3，求E(Y)． 解析：由本例知E(X)＝－， 则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3 ＝2×－3＝－. 2．(变设问)本例条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，求a的值． 解析：由本例知E(X)＝－，则E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15. 方法技巧 求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值的方法 1．定义法：先列出η的分布列，再求均值． 2．性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．　　 即时练2.已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，若随机变量η＝3ξ＋1，则η的均值为(