7.1 7.1.1 条件概率-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

7．1　条件概率与全概率公式 7．1.1　条件概率 [学习目标]　1.结合古典概型，了解条件概率的定义．　2.掌握条件概率的计算方法．　3.了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式．　4.理解条件概率的性质．　5.会利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 知识点一　条件概率的理解 抛掷一枚质地均匀的硬币两次． (1)两次都是正面向上的概率是多少？ (2)在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？ (3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 提示：(1)两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{正正，正反，反正，反反}，其中两次都是正面向上的事件记为B，则B＝{正正}，故P(B)＝. (2)将两次试验中有一次正面向上的事件记为A，则A＝{正正，正反，反正}，那么，在A发生的条件下，B发生的概率为.在事件A发生的条件下，事件B发生的概率产生了变化． (3)将第一次出现正面向上的事件记为C，则C＝{正正，正反}，那么，在C发生的条件下，B发生的概率为.在事件C发生的条件下，事件B发生的概率产生了变化． 条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． [微提醒]　A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)P(B)，则P(B|A)＝ P(B)． 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解析：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n(Ω)＝A＝30. 根据分步乘法计数原理，得n(A)＝AA＝20， 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝. (3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝. [变式探究] (变设问)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． 解析：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC． 因为P(A)＝，P(AC)＝＝，所以P(C|A)＝＝. 学生用书↓第29页 方法技巧 计算条件概率有两种方法，分别是定义法和缩小样本空间法． 1．利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)； (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 2．利用缩小样本空间法求条件概率的步骤 (1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB； (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点； (3)算：利用P(B|A)＝求得结果．　　 即时练1.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率． 解析：设A＝“抽到的两张都是假钞”，B＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P(A|B)． 因为P(AB)＝P(A)＝，P(B)＝， 所以P(A|B)＝＝＝＝. 知识点二　概率的乘法公式 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地抽取，事件A为“甲没有抽到中奖奖券”，事件B为“乙抽到中奖奖券”，事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？P(B|A)与P(B)有什么关系？ 提示：不会，事件A与事件B是相互独立事件；有放回地抽取奖券时，乙也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此P(B|A)＝P(B)． 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． [微提醒]　 (1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生； (2)在P(B|A)中，事件A成为样本空间，而在P(AB)中，样本空间为所有事件的总和； (3)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件． 气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为(　　) A． B． C． D． B　[设“某地区每年七月份刮台风”为事件A，设“某地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.由题得P(A)＝，P(B|A)＝，由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝.故选B.] 方法技巧 利用