7.5 正态分布-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

7.5　正态分布 [学习目标]　1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．　2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小．　3.会用正态分布去解决实际问题． 知识点一　正态曲线及其性质 请回答以下问题： 1．下列随机变量哪个是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间． 提示：(1)是．　(2)不是． 2．教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？ 提示：存在． 学生用书↓第54页 1．正态曲线 函数f(x)＝e－，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 4．正态曲线的特点 (1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的面积为1． (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义 若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积． [微提醒]　理解正态分布要注意如下四点 (1)μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布； (2)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数(数学期望)；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计； (3)正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等； (4)由一些相互独立的偶然因素所引起的，每一种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，这一类随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布． (1)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．甲类水果的平均质量为0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 (2)已知三个正态密度函数φi(x)＝·e－(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则(　　) 学生用书↓第55页 A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 C．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 (1)D　(2)D　[(1)由题图可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确；因为甲曲线比乙曲线更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；因为乙曲线的峰值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．故选D． (2)因为正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1<μ2＝μ3，故排除B，C．因为σ越小图象越“瘦高”，所以σ1＝σ2<σ3.故选D.] 方法技巧 利用正态曲线的特点求参数μ，σ 1．正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. 2．正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.　　 即时练1.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法正确的是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的标准差最小 C．乙科总体的平均数最大 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 A　[由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，且σ是标准差．故选A．] 即时练2.(多选)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，其正态密度函数f(x)＝·e－，则下列