7.4 7.4.2 超几何分布-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

7.4.2　超几何分布 [学习目标]　1.理解超几何分布的概念及特征．　2.掌握超几何分布的均值的计算．　3.了解二项分布与超几何分布的区别与联系．　4.会用超几何分布解决一些简单的实际问题． 知识点一　超几何分布的分布列 已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列． 提示：若采用有放回抽样时X服从二项分布，即X～B(3，0.4)，其分布列为P(X＝k)＝C(0.4)k(1－0.4)3－k. 若采用不放回抽样，“X＝k”，k＝0，1，2，3表示“取出的3件产品中恰有k件次品”，这意味着，从4件次品中取出k件，再从(10－4)件正品中取出(3－k)件，共有Ck4C3－k10－4种取法，故X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3. 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 学生用书↓第50页 [微提醒]　超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型． 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列． 解析：(1)从袋中一次随机抽取3个球，所有取法的总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的样本点的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝. (2)由题意知X＝0，1，2，3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P [变式探究] 1．(变设问)在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解析：由题意可知η＝0，1，服从两点分布．又P(η＝1)＝＝，所以η的分布列为 η 0 1 P 2.(变条件)将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 解析：(1)取出3个球颜色都不相同的概率 P＝＝. (2)由题意知X＝0，1，2，3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 方法技巧 求超几何分布的分布列的步骤 即时练1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． 解析：(1)设“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”为事件M， 则P(M)＝＝. (2)由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4，则 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 学生用书↓第51页 知识点二　超几何分布的均值 服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 提示：实际上，由随机变量均值的定义， 令m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}， 有E(X)＝＝M. 因为 C＝C，所以 E(X)＝ C＝＝＝np. 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝＝np． 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)． (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X