7.4 7.4.1 二项分布-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　二项分布 [学习目标]　1.理解n重伯努利试验的概念．　2.掌握二项分布的概率表达形式．　3.掌握二项分布的均值与方差公式．　4.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 知识点一　n重伯努利试验 观察下面试验有什么共同的特点？ (1)投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5； (2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个； (3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次． 提示：①相同条件下的试验：5次、10次、6次； ②每次试验相互独立； ③每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生； ④每次试验发生的概率相同为p，不发生的概率也相同，为1－p. 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． [微提醒]　(1)在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验； (2)在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，故在试验中只有A与两个结果．在n重伯努利试验中，关注的是某个事件B发生的次数X.因为X是一个离散型随机变量，所以实际关注的是它的概率分布列． 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； (2)若两人各射击2次，求甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 解析：(1)设A1＝“甲射击3次，至少有1次未击中目标”，由题意，射击3次，相当于3次伯努利试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝. (2)设A2＝“甲射击2次，恰有2次击中目标”，B＝“乙射击2次，恰有1次击中目标”，则P(A2)＝C×2＝，P(B)＝C××＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B)＝×＝. [变式探究] 1．(变设问)在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率． 解析：设A3＝“甲击中目标1次”，B1＝“乙击中目标1次”，则P(A3)＝C××＝，P(B1)＝C××＝，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B1)＝×＝. 2．(变设问)在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中目标2次的概率． 解析：设A4＝“甲未击中目标”，B2＝“乙击中目标2次”，则P(A4)＝C2＝，P(B2)＝C2＝，所以甲未击中、乙击中目标2次的概率为P(A4B2)＝×＝. 学生用书↓第47页 方法技巧 n重伯努利试验概率求法的三个步骤 即时练1.甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局． (1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者胜，甲获胜的概率是多少？ (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？ 解析：(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P＝2＋C×××＝. (2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则 P＝3＋C×2××＋C×2×2×＝. 知识点二　二项分布 1．连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？ 提示：连续投掷一枚图钉3次，就是做3次伯努利试验，用Ai(i＝1，2，3)表示第i次掷得针尖向上的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3)．由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p. 2．类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k＝0，1，2，3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？ 提示：用Ai(i＝1，2，3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，用Bk(k＝0，1，2，3)表示事件“出现k次针尖向上”，P(B0)＝P(123)＝q3＝Cp0q3， P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3) ＝3q2p＝Cp1q2， P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)＝3qp2＝Cp2q1， P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3＝Cp3q0， 规律：P(Bk)＝Ck3pkq3－k，k＝0，1，2，3. 1．二项分布的概念 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 2．二项分布的均值与方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． [微提醒]　(1)由二项式定理可知