6.2 习题课(一) 排列的综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

习题课(一)　排列的综合应用 [学习目标]　1.掌握几种有限制条件的排列．　2.能应用排列数公式解决简单的实际问题． 应用一　特殊元素或特殊位置问题 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解析：(1)法一：把元素作为研究对象． 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法． 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法． 由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160(种)排法． 法二：把位置作为研究对象． 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法． 由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2 160(种)排法． 法三(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉． 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种， 所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种)． (2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置． 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800(种)方法． (3)总的情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法． [变式探究] (变条件)本例中的问题变为：甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解析：把位置作为研究对象． 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种排法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200(种)排法． 　　方法技巧 “特殊”优先原则 　　常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先．一般从以下三种思路考虑： 1．以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素． 2．以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置． 3．用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数． 以上三种思路可以简化为图表如下： 当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决． 即时练1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 解析：(1)法一(位置分析法)：因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A种站法；再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有A种站法，由分步乘法计数原理知共有AA＝480(种)站法． 法二(元素分析法)：因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上，有A种站法；再让余下的5个人站在其他5个位置上，有A种站法，由分步乘法计数原理知，共有AA＝480(种)站法． 法三(间接法)：在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，有A种站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数2A，于是共有A－2A＝480(种)站法． (2)法一(元素分析法)：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A种站法；再让其他4个人在中间4个位置全排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有AA＝48(种)站法． 法二(位置分析法)：首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有A种站法；再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有AA＝48(种)站法． (3)法一(间接法)：甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，而甲在左端且乙在右端的站法有A种，故共有A－2A＋A＝504(种)站法． 法二(直接法)：从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第一类，甲站右端有A种站法；第二类，甲站在中间4个位置之一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有AAA种站法，故共有A＋AAA＝504(种)站法． 学生用书↓第11页 应用二　相邻问题 有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生也必须相邻，则不同排法的种数为(　　) A.72 B.96 C.144 D.288 D　[第