6.2 6.2.3 组合 6.2.4 组合数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6.2.3　组　合 6．2.4　组合数 [学习目标]　1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系． 2.掌握组合数公式和组合数的性质． 3．能运用组合数的性质进行计算．　4.会用组合及组合数公式解决一些简单的组合问题．知识点一　组合的概念 小明五一到石城旅游，要从4处景点A，B，C，D中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从4处景点A，B，C，D中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？ 提示：　12种　6种 学生用书↓第13页 　　一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． [微提醒]　(1)组合中取出的元素没有顺序；(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 解析：(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题． (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题． 方法技巧 判断一个问题是排列问题 还是组合问题的方法技巧 　　区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 即时练1.判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ (2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生． 解析：(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题． (2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题． (3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题． 知识点二　组合数的概念、公式及性质 组合数C与排列数A有什么关系？你能求出C吗？ 提示：　求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A种方法．由分步乘法计数原理得，A＝C·A，所以C＝. 1．组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 2．组合数公式 C＝＝或C＝(n，m∈N*，且m≤n)． 3．规定：C＝1. [微提醒]　(1)m≤n，m，n∈N*； (2)C＝＝常用于计算；C＝常用于证明． 学生用书↓第14页 (1)式子可表示为(　　) A．A B．C　 C.101C D.101C (2)计算：C＋C. (3)求证：mC＝nC. 解析： (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，故 ＝101· ＝101C.故选D. (2)由组合数定义知 所以4≤n≤5.又因为n∈N*，所以n＝4或5. 当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5； 当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16. (3)证明：因为左边＝m· ＝＝n·＝nC. 右边＝nC，所以左边＝右边， 所以原式成立． 答案：(1)D [变式探究] 1．(变条件、变设问)若将本例(2)改为A＝6C，求m. 解析：因为A＝6C， 所以m(m－1)(m－2)＝6·， 所以m－3＝4，m＝7. 2．(变设问)将例(3)改为证明C＝C. 证明：右边＝C＝·＝＝C， 左边＝C，所以左边＝右边，所以原式成立． 　　方法技巧 组合数的计算问题 1．涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算． 2．涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． 3．计算时应注意利用组合数的两个性质 (1)C＝Cn－； (2)C＝C＋Cm－. 即时练2.(1)计算：C＋C×C. (2)已知C＝C，求m的值． 解析：(1)原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4 950＝5 006. (2)因为C＝C， 所以由组合数性质知m＝2m－1或m＋2m－1＝8，即m＝1或m＝3. 应用一　简单的组合计算问题 计算：C＝________，C·C＝________． 解析：C＝C＝2 023，C·C＝C·C＝. 答案：2 023