6.2 6.2.1 排列 6.2.2 排列数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6.2　排列与组合 6．2.1　排列 6．2.2　排列数 [学习目标]　1.理解并掌握排列的概念．　2.能用计数原理推导排列数公式．　3.能应用排列知识解决简单的实际问题． 知识点一　排列的概念 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 提示：共有6种不同的选法，如下． 1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是： (1)两个排列的元素完全相同；(2)元素的排列顺序也相同． [微提醒]　(1)要求m≤n；(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同． 判断下列问题是否为排列问题： (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组，共有多少不同方法？从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，共有多少不同方法？ (3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 解析：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问，从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组，与顺序有关，此问题为排列问题，而第二问，从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，选出的两名同学与顺序无关，故不是排列问题． (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题． 　　方法技巧 判断一个问题是否为排列问题， 主要从“取”与“排”两方面考虑 1．“取”：检验取出的m个元素是否重复． 2．“排”：检验取出的m个元素是否有顺序性，其方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 即时练1.判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员． 解析：(1)题中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)不存在顺序问题，不属于排列问题． (4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)题中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(2)，(5)属于排列问题． 学生用书↓第7页 知识点二　排列数及排列数公式 怎样推导从n个不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)个元素的排列数A？ 提示：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球： 第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法； 第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法； 第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法； … 第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如表所示． 盒子 1 2 3 … m 方法数 n n－1 n－2 … n－(m－1) 因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]种方法． 1．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 2．排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，m≤n)． 3．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1＝n！. 规定：0！＝1. [微提醒]　(1)乘积是m个连续正整数的乘积；(2)第一个数最大，是A的下标n；(3)第m个数最小，是n－m＋1. 计算下列各题： (1)A；(2). 解析：(1)A＝10×9×8＝720. (2) ＝ ＝＝＝. 用排列数表示(55－n)(56－n)·…·(69－n)(n∈N*且n<55)． 解析：因为 55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)