6.3 6.3.2 二项式系数的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6．3.2　二项式系数的性质 [学习目标]　1.理解二项式系数的性质并灵活运用． 2.掌握“赋值法”并会灵活应用． 3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题． 4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题． 知识点　二项式系数的性质 怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？ 提示：　＝. 当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大； 同理，当k>时，二项式系数逐渐减小． 1．对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由C＝C得到．直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． 2．增减性与最大值 (1)当k＜时，C随k的增加而增大； 当k＞时，C随k的增加而减小． (2)当n是偶数时，中间的一项Cn取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项Cn与Cn相等，且同时取得最大值． 3．各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n． (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [微提醒]　(1)二项式系数的增减性源于以下认识： 因为C＝＝＝C，所以，当>1，即k<时，C>C；当<1，即k>时，C<C. (2)对于2n＝C＋C＋C＋…＋C，也可以从集合的角度解释．设A是含有n个元素的集合，求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集(即空集)有C个，含1个元素的子集有C个，含2个元素的子集有C个，…，含n个元素的子集有C个，故所有子集的个数为C＋C＋C＋…＋C＝2n. (1－x)2n－1的展开式中，二项式系数最大的项是(　　) A．第n－1项 B．第n项 C．第n－1项与第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 D　[由二项式系数的性质得，二项式系数最大为C2n－1＝C，C2n－1＝C，分别为第n，n＋1项．故选D．] 　　方法技巧 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论 1．当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． 2．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 即时练1.的展开式中，有且仅有第6项系数最大，则其常数项为(　　) A.120 B.252 C.210 D.45 C　[由题意，得2n＝10，易知n＝5，由Tk＋1＝C()10－k＝Cx，令30－5k＝0，得k＝6，故其常数项为C＝210.故选C．] 学生用书↓第23页 应用一　二项展开式的系数和问题 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5. 解析：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)令x＝－1，得(－3)5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5的通项Tr＋1＝C(－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5| ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. (3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝(－3)5， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝＝－121. [变式探究] (变设问)在本例条件下，求下列各式的值： (1)a0＋a2＋a4； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5； (3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4. 解析：(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35， 所以a0＋a2＋a4＝＝122. (2)因为a0是(2x－1)5展开式中x5的系数， 所以a0＝25＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. (3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5， 所以两边求导数，得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4. 令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10. 　　方法技巧 二项展开式中系数和的求法 1．对于形如(ax＋b)n(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R，n∈N*)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 3．赋值法 即时练2.若(x－3)2(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则log2(a1＋a3＋…＋a9)＝(　　) A.4 B.7 C.8 D.9 D　[令x