6.3 6.3.1 二项式定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

6.3　二项式定理 6．3.1　二项式定理 [学习目标]　1.能用计数原理证明二项式定理． 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式． 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点　二项式定理 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 提示：从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即a2－kbk的系数是C. 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． (4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第 k＋1项叫做二项式通项，记作Tk＋1＝Can－kbk． [微提醒]　(1)每一项中a与b的指数和为n；(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止；(3)a与b的位置不能交换． (1)求的展开式； (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 解析：(1)法一：＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)·＋C＝81x2＋108x＋54＋＋. 法二：＝＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 　　方法技巧 运用二项式定理的解题策略 1．正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负交替的情况．对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开． 2．逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [注意]　逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的，则结果是(a－b)n的形式． 即时练1.计算：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________． 解析：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 答案：x5－1 即时练2.用二项式定理展开(x＋2y)4. 解析：(x＋2y)4＝Cx4＋Cx3(2y)＋Cx2(2y)2＋Cx(2y)3＋C(2y)4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4. 学生用书↓第20页 应用一　求二项展开式中的特定项 已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： (1)n的值； (2)展开式中含x3的项． 解析：(1)因为T3＝C()n－2＝4Cx，T2＝C()n－1＝－2Cx， 依题意得4C＋2C＝162，所以n2＝81. 因为n∈N*，所以n＝9. (2)设第k＋1项含x3，则Tk＋1＝C()9－k ＝(－2)kCx， 所以＝3，解得k＝1，所以第二项为含x3的项， T2＝－2Cx3＝－18x3. [变式探究] 1．(变设问)在本例条件下，求二项展开式中的常数项． 解析：因为Tk＋1＝(－2)kCx，若Tk＋1为常数项，则9－3k＝0，所以k＝3，因此常数项为第4项，即(－2)3C＝－672. 2．(变设问)在本例条件下，求二项展开式中的所有有理项． 解析：因为Tk＋1＝(－2)kCx， 若Tk＋1为有理项，当且仅当为整数． 因为0≤k≤9，k∈N，所以k＝1，3，5，7，9， 即展开式中的有理项共5项，它们分别是 T2＝－18x3，T4＝－672，T6＝－， T8＝－，T10＝－. 　　方法技巧 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1； (2)求