7.3 7.3.2 离散型随机变量的方差-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

7.3.2　离散型随机变量的方差 　 第 七 章 7.3　离散型随机变量的数字特征 学习目标 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．　 2.能计算简单离散型随机变量的方差．　 3.掌握离散型随机变量的方差的性质．　 4.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题． 课 时 精 练 知识点二　离散型随机变量方差的性质 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　离散型随机变量的方差 内 容 索 引 知识点一　离散型随机变量的方差 索引 问题导思 要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，应派哪位同学参赛？ 甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为 乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为 提示：E(X1)＝8，E(X2)＝8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平．可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性． X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 新知形成 设离散型随机变量X的分布列如表所示． 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我 们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－ E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X)． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量取值越分散． (2)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同． (3)一般地，随机变量的方差是非负常数． 微提醒 例1 有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)． 由题意可知，ξ的可能取值为6，9，12. ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 所以ξ的分布列为 求离散型随机变量的方差的步骤 第一步：理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； 第二步：求出X取每个值的概率； 第三步：写出X的分布列； 第四步：计算E(X)； 第五步：计算D(X)． 方法技巧 即时练1.在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的均值和方差． 索引 知识点二　离散型随机变量方差的性质 索引 问题导思 新知形成 1．D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 微提醒 特例 方差 意义 a＝0 D(b)＝0 常数的方差等于0 a＝1 D(X＋b)＝D(X) 随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同 b＝0 D(aX)＝a2D(X) 常数a与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的a2倍 例2 已知X的分布列如表所示： (1)求X2的分布列； 所以X2的分布列为 (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2， D(Y)＝42D(X)＝11. (变条件、变设问)若将本例的条件改为：设随机变量X的分布列为 若Y＝2X＋2，则D(Y)等于 变式探究 √ 2 2 2 求随机变量Y＝aX＋b的方差的方法 1．定义法：先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差． 2．性质法：应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． 方法技巧 即时练2.已知随机变量η的分布列为 (1)求η的方差及标准差； 索引 (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)． 因为Y＝2η－E(η)，所以D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536. 综　合　应　用 索引 例3 决策问题 某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别