7.3 7.3.1 离散型随机变量的均值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

7.3.1　离散型随机变量的均值 　 第 七 章 7.3　离散型随机变量的数字特征 学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．　 2.掌握两点分布的均值．　 3.掌握离散型随机变量的均值的性质．　 4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题． 课 时 精 练 知识点二　离散型随机变量均值的性质 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　离散型随机变量的均值 内 容 索 引 知识点一　离散型随机变量的均值 索引 问题导思 某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10，则所得的平均环数是多少？ 新知形成 1．离散型随机变量的均值或数学期望 一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示． 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2．两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平． 微提醒 例1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为 且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值． 根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4，1， 3，6. 所以X的分布列为 求离散型随机变量X的均值的步骤 方法技巧 即时练1.端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； 索引 (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值． 综上知，X的分布列为 知识点二　离散型随机变量均值的性质 索引 问题导思 若X，η都是离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？ 提示：X，η的分布列为 X x1 x2 … xi … xn η ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 则E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b. 新知形成 离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝____________． aE(X)＋b E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)，即两个随机变量和的均值等于均值的和. 微提醒 例2 已知随机变量X的分布列为 若Y＝－2X，则E(Y)＝__________． 1．(变设问)本例条件不变，若Y＝2X－3，求E(Y)． 变式探究 2．(变设问)本例条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－ ，求a的值． 求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值的方法 1．定义法：先列出η的分布列，再求均值． 2．性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解 即可．　　 方法技巧 索引 由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4＋2k＋k＝1，解得k＝0.2，所以均值为E(ξ)＝0×0.4＋1×0.4＋2×0.2＝0.8.又随机变量η＝3ξ＋1，所以E(η)＝3E(ξ)＋1＝3×0.8＋1＝3.4.故选B. √ 即时练2.已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，若随机变量η＝3ξ＋1，则η的均值为 A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．3.8 ξ 0 1 2 P 0.4 2k k 综　合　应　用 索引 例4 离散型随机变量均值的实际应用 (2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回