6.1 第2课时 计数原理的综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

第2课时　计数原理的综合应用 　 第 六 章 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2.会用这两个计数原理分析和解决一些较为复杂的实际计数 问题． 随 堂 演 练 课 时 精 练 综 合 应 用 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 例1 三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)． 用0，1，2，3，4五个数字． (1)可以排出多少个三位数字的密码？ 应用一　组数问题 三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)． (2)可以排成多少个三位数？ 被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 变式探究 1．(变设问)由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字，先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理得共有2×3×3×2＝36(个)． 2．(变设问)在本例条件下，可以组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？ 一个四位数能被3整除，必须各数位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类，所以满足题设的四位数共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36(个)． 组数问题的处理原则 1．明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解． 2．要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位． 方法技巧 即时练1．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有 A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 根据题意，需分两类解决：第一类，首位填4时，比40 000大的偶数的个数为2×4×3×2＝48；第二类，首位填5时，比40 000大的偶数的个数为3×4×3×2＝72.根据分类加法计数原理，可知比40 000大的偶数的个数为48＋72＝120.故选B． √ 即时练2．用数字1，2组成一个四位数，则数字1，2都出现的四位偶数有________个． 由四位数是偶数，知最后一位是2.在四位数中，当出现1个1时，有1 222，2 122，2 212，共3个；当出现2个1时，有1 122，1 212，2 112，共3个；当出现3个1时，只有1 112这1个四位偶数．故数字1，2都出现的四位偶数有3＋3＋1＝7(个)． 7 例2 (1)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有 A．360种 B．420种 C．369种 D．396种 应用二　抽取与分配问题 √ 法一(直接法)：以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)；第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)；第四类，有一个班级去甲工厂，其他三个班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种)．综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种)．故选C． 法二(间接法)：先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案．故选C. 不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2(种)． (2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为________． 2 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树