6.3 6.3.1 二项式定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

6.3.1　二项式定理 　 第 六 章 6.3　二项式定理 学习目标 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式． 3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　二项式定理 内 容 索 引 知识点　二项式定理 索引 问题导思 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 提示：从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C ，即a2－kbk的系数是C . 新知形成 二项式定理 (a＋b)n＝_____________________________________，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项． (3)二项式系数：各项的系数C (k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． (4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第________项叫做二项式通项，记作Tk＋1＝__________． n＋1 k＋1 (1)每一项中a与b的指数和为n；(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止；(3)a与b的位置不能交换． 微提醒 例1 索引 运用二项式定理的解题策略 1．正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负交替的情况．对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开． 2．逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的 系数． [注意]　逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的，则结果是(a－b)n的形式． 方法技巧 即时练1.计算：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________． (x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. x5－1 即时练2.用二项式定理展开(x＋2y)4. 索引 综　合　应　用 索引 例2 已知 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： (1)n的值； 依题意得4 ＝162，所以n2＝81. 因为n∈N*，所以n＝9. 应用一　求二项展开式中的特定项 (2)展开式中含x3的项． 变式探究 1．(变设问)在本例条件下，求二项展开式中的常数项． 2．(变设问)在本例条件下，求二项展开式中的所有有理项． 因为Tk＋1＝(－2)k ， 若Tk＋1为有理项，当且仅当 为整数． 因为0≤k≤9，k∈N，所以k＝1，3，5，7，9， 即展开式中的有理项共5项，它们分别是 T2＝－18x3，T4＝－672，T6＝－ ， 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k项，Tk＝C an－k＋1bk－1； (2)求含xk的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项． 方法技巧 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 方法技巧 即时练3.已知 的二项展开式中常数项为1 120，则实数a的值是 A．－1 B．1 C．±1 D．不确定 √ 即时练4. 的展开式中有理项的项数为 A．0 B．1 C．2 D．3 √ 例3 在二项式 的展开式中， (1