专题02 圆中的重要模型-圆弧的中点模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题02 圆中的重要模型--圆弧中点模型 当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。 当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率 模型1、与垂径定理相关的中点模型 图1 图2 图3 1）如图1，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB． 2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线． 3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线． 例1．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（    ）． A． B． C．3 D．4 例2．（2023·福建宁德·统考二模）如图，已知内接于，是的直径． (1)尺规作图：确定点D，E的位置，使得点D是弧的中点，交直线于点E；（保留作图痕迹，不写作法）。(2)在（1）的条件下，求证：是的切线； (3)连接，交于点F，若，，求的长． 例3．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点．（1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．    探究：在图2中（2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 例4．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，关于对称的经过所在圆的圆心，已知，点为上的点，则（1） ；（2）点到的最大距离是 ； （3）若点、分别是的中点，则的长为 ． 模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型） 图1 图2 图3 1）如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB． 2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°． 3）如图3，已知点P是中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC． 可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB． 例1．（2023·吉林松原·校联考一模）如图，在中，，是劣弧的中点，是优弧任意一点，连接，，则的度数是（   ） A．或 B． C． D． 例2．（2023·广东惠州·统考一模）如图，在中，弦相交于点E，点B是劣弧中点，延长到点F，使，连接 (1)求证：；(2)若，求证：是的切线；(3)若，，求的长. 例3．（2023·广东广州·校考三模）如图：为的直径，点A是弧的中点，交于点E，，．(1)求证：；(2)求的值．    例4．（2023·四川巴中·统考一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E． (1)求证：是半圆O的切线．(2)求证：．(3)若，，求阴影部分的面积． 模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC． 以上作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形． 例1．（2023·浙江金华·校联考二模）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为 ． 例2．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ． 例3．（2023春·贵州铜仁·九年级校联考阶段练习）如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为弧的中点，连接，． (1)求证：；(2)若，求的半径；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．    例4．（2023·浙江舟山·统考三模）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．(1)求证：；(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；(3)在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．