热点专题04 圆（15个热点）-2023-2024学年九年级数学全册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

热点专题04圆（15个热点） 考点一、圆的定义及有关概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆.这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径. 2.圆的表示方法：以点为圆心的圆记作，读作圆. 3.圆的有关概念 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的). 直径 经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的）. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作圆弧或弧. 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧 在一个圆中小于半圆的弧叫做劣弧. 考点二、垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法： ①过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 考点三、圆心角和圆周角的概念 1.圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 3.圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （即：圆周角=圆心角） 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 4.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 证明：在⊙中，∵四边是内接四边形 ∴， 考点四、点与圆及直线与圆的位置关系 1.设的半径是，点到圆心的距离为，则有： 点在内；点在上；点在外。 2.过三点的圆： ①不在同一直线上的三个点确定一个圆。 ②经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 ③三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 3.直线与圆的位置关系 位置关系 与的比较 交点情况 图示 相离 无交点 相切 有一个交点 相交 有两个交点 考点五、切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端，∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 3.切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线，∴，平分 考点六、圆内正多边形 正多边形 正三角形 正四边形 正六边形 图示 长度比例 有关计算在中进行， 有关计算在中进行， 有关计算在中进行， . 2.与正多边形有关的概念 ①正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 ②正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 ③正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 ④中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 3.正多边形的对称性 ①正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正边形共有条对称轴，每条对称轴都通过正边形的中心。 ②正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 ③正多边形的画法:先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形 考点七、扇形 （一）扇形的弧长和面积计算 （1）扇形弧长公式：； （2）扇形面积公式： 其中：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意： （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是