3.2.2 双曲线的简单几何性质（十大考点）-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

3.2.2双曲线的简单几何性质 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质； 2.能利用双曲线的简单性质求标准方程； 3.会判断直线与双曲线的位置关系； 4.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 一、双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 二、等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 三、直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 考点01 由双曲线方程得到几何性质 1．双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（    ） A．9 B．－9 C． D． 2．已知F为双曲线C：的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（    ） A． B．3 C．2 D．1 3．设双曲线 (，)的虚半轴长为1，半焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 5．已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 6．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图： (1)； (2)． 考点02由几何性质得到双曲线方程 7．已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线的方程为 . 10．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过、两点． (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 11．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为； (3)离心率，且经过点； (4)经过点，且一条渐近线的方程为． 12．（1）求符合下列条件的双曲线的标准方程： ①顶点在轴上，两顶点间的距离是8，； ②渐近线方程是，虚轴长为4. （2）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点．求线段的长． 13．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4； (2)双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点. 考点03 求双曲线的离心率 14．已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 15．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一渐近线交于点，若是的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 16．已知坐标平面中，点为双曲线的右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（　　） A． B．3 C． D．5 17．设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为 . 19．已知双曲线，直线与双曲线C交于M，N两点，直线与双曲线C交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率等于 ． 20．已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 . 考点04 求双曲线离心率的取值范围 21．双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，与的左支交于点.若，则的离心率的取值范围是（    ） A．