4.4.2 对数函数的图象和性质（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.4.2对数函数的图象和性质 第四章 指数函数与对数函数 情景引入 根据前面研究数函数、指数函数的经验，在得出函数的概念后，接着要研究对数函数，与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质. 问题1：在同一坐标系中作出函数与的图象．你有什么发现？ … … … 0.5 -1 1 1 0 0 2 1 -1 4 2 -2 8 3 -3 … … … 由此发现，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称. 情景引入 为了得到指数函数的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察. 问题2：请同学们画出函数、、 、的图象. 抽象概念，内涵辨析 问题3：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？ 这些图象都经过点;其定义域都是;值域是;当时，在上单调递减，当时，在上单调递增. 对数函数图象的其它特征： 在直线的右侧，时，越大，图象越低，简称“底大图低”；时，越大，图象越低，简称“底大图低”. 新知1：对数函数的图象和性质 对数函数图象的其它特征： 在直线的右侧，时，越大，图象越低，简称“底大图低”；时，越大，图象越低，简称“底大图低”. 新知2：反函数 x,y互换 定义域和值域互换 ②存在反函数的条件是原函数必须“一一对应”. ③若两函数互为反函数，则定义域和值域互换，且图象关于y=x对称. ①对于y=f(x)，互换x,y得其反函数x=g(y) ④若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上． 7 【例1】（2023·辽宁营口·高一校考阶段练习）若函数，且的图象过定点，则的坐标为 ． 【答案】 【解析】令得， 又， 所以函数过定点 即的坐标为 故答案为： 题型一：对数型函数过定点问题 典型例题 【对点训练1】（2023·全国·高一专题练习）函数（，且）的图象恒过点 ． 【答案】 【解析】令，解得， 此时， 故（，且）的图象恒过点. 故答案为： 题型一：对数型函数过定点问题 典型例题 【对点训练2】（2023·全国·高一专题练习）函数的图象恒过定点，若定点在直线上，其中，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由题意可得定点． 又点在直线上，∴， 则 ， 当且仅当时取等号．所以的最小值为2. 故答案为：2. 题型一：对数型函数过定点问题 典型例题 【例2】（2023·上海·高一专题练习）函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误； 对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意； 对于C，时，为上增函数，图象错误； 对于D，时，为上增函数，图象错误； 故选：B 题型二：对数函数的图象问题 典型例题 【对点训练3】（2023·上海·高一专题练习）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】B 【解析】因为， （3）是，（4）是， 又与关于轴对称， （1）是． 故选：B． 题型二：对数函数的图象问题 典型例题 【例3】（2023·贵州毕节·高一校考期中）已知函数. (1)若的定义域为R，求a的取值范围； (2)若，求a. 【解析】（1）因为若的定义域为R， 所以对恒成立， 所以，得， 即a的取值范围为 （2）由题意得，， ， 则，得， 所以， 得，解得或（舍） 所以 题型三：对数函数的定义域 典型例题 【对点训练4】（2023·四川凉山·高一统考期末）已知函数 (1)若的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若的定义域为，求实数a的取值范围. 【解析】（1）∵的定义域为 ∴对恒成立， 当时，对不恒成立，故舍去． 当时，． 综上所述：的取值范围为 （2）设， ∵的定义域为， ∴在上恒成立， 当时，在［1,2]恒成立， 当时，开口向上，对称轴，在单调递增， ∴ 恒成立 ∴满足题意． 当时，开口向下， 在恒成立， 则， ， ∵恒成立， ∴解得， ， ∵恒成立，∴解得， 综上所述：的取值范围为. 题型三：对数函数的定义域 典型例题 【例4】（2023·陕西西安·高一统考期末）已知函数． (1)若的定义域为，求a的取值范围； (2)若的值域为，求a的取值范围： (3)若，求的值域： 【解析】（1）的定义域为等价于 恒成立， 则，解得； （2）的值域为等价于是 值域的子集， 即存在，使得成立， 则，解得； （3）时，， ， 又是递增函数， 故，故的值域为. 题型四：对数函数的值域与最值 典型例题 【对点训练5】（2023·河北石家庄·高一校考期中）函数的定义