4.3.1等比数列的概念（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1等比数列的概念（第1课时）教学设计 1、 课时教学内容 等比数列的概念、等比数列的通项公式、等比中项的概念、等比数列的性质． 2、 课时教学目标 1. 通过实例，理解等比数列的概念. 2. 掌握等比中项的概念并会应用. 3. 掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 4. 灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 3、 教学重点、难点 1、教学重点 1.探索并掌握等比数列的通项公式 2.运用通项公式解决实际问题. 2、教学难点 1.等比数列的运算、等比数列的性质及应用． 2.掌握等比数列的判断与证明方法． 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 问题1：前面我们学习了等差数列，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 【师生活动】 学生独立思考、讨论交流． 教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“等差数列”；然后指引学生回顾等差数列相邻两项的关系，确定新数列的研究问题：相邻两项比是固定常数． 【设计意图】意在引导学生从运算的角度，类比已有研究对象的主要特征，发现一个新的特殊数列作为研究对象，这样的过程有利于培养学生发现问题和提出问题的能力． 问题2：“请看下面几个问题中的数列”，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 【师生活动】 学生独立观察，充分思考，交流讨论． 根据学生交流讨论情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问． 【设计意图】该情境让学生从生活实例中发现各组数列在运算上的特点，目的在从而自然引出本节课的探究问题——等比数列的概念 请看下面几个问题中的数列． 1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ； ① ； ② ； ③ 古巴比伦人用60进制计数，这里转化为十进制． 2．《庄子・天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 ⑤ 4．某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ． ⑥ 追问：（1）你能用自然语言归纳每组数列的特征吗？（从相邻两项间的关系分析） （2）请归纳概括上述四个具体例子的共同特点． （类比等差数列的过程） （3）类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗可以用符号语言表示吗？ 【师生活动】 教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，抽象概括成数学定义，给出等比数列的定义． 【设计意图】让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论．这是一个提升学生数学抽象素养的时机． 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息． 环节二 观察分析，感知概念 探究：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律?你发现了什么规律? 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律． 如果用表示数列①，那么有 ，，……，． 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9． 其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律． 问题3： 请同学们结合上述实例子的运算特点和等差数列的定义总结等比数列的定义。 环节三 抽象概括，形成概念 思考： 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗? 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric progression）．这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示（显然)．例如，数列①~⑥的公比依次是9，100，5，，2，． 问题4：结合等比数列的定义，观察等比数列的相邻三项，你有什么新的发现？ 【师生活动】 让学生独立阅读这段内容，然后分别提出自己的新发现． 教师根据学生的回答情况，可以选择以下问题进行追问． 追问：（1）等比数列相邻三项有什么代数关系？ （2）类比等差中项，你能得到等比中项的定义吗？能够用符号语言表示吗？ 【师生活动】 根据学生探究的情况，教师引导，帮助学生建立等比中项的定义． 【设计意图】对于难度不大的内容，引导学生通过类比的方法去找到等比数列中相邻三项的关系，并抽象概念得到等比数列的定义． 问题5：回忆等差中项的定义？ 追问1 类