4.3.1等比数列的概念（第1课时）（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1等比数列的概念（导学案） 学习目标 1. 通过实例，理解等比数列的概念. 2. 掌握等比中项的概念并会应用. 3. 掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 4. 灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 重点难点 1、教学重点 探索并掌握等比数列的通项公式，能运用通项公式解决实际问题. 2、教学难点 (1) 等比数列的运算、等比数列的性质及应用． (2) 掌握等比数列的判断与证明方法． 课前预习 自主梳理 知识点一　等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的 的比都等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示(显然q≠0) 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 思考　为什么等比数列的各项和公比q均不能为0? 答案　由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0. 知识点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ 思考　当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ 答案　不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． 知识点三　等比数列的通项公式 (1)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝ . (2)第n项与第m项的关系为an＝ ，变形得qn－m＝. (3)由an＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 知识点四　等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1 ① ＝am ② ＝· .③ 其中当②中m＝1时，即化为①. 当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 等比数列中不存在数值为0的项．(　 　) (2) 常数列a，a，a，a，…一定是等比数列．(　 　) (3) 若数列{an}的通项公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，则{an}一定是等比数列．(　 　) (4) 存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．( ) (5) 任何两个实数都有等比中项．(　 　) (6) 数列1，－1,1，－1，…是等比数列．(　　) (7) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( 　) (8) 等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　 　) (9) 常数列一定为等比数列．(　　) 2.在等比数列中，，，则首项 A． B． C． D．1 3.已知数列-1，，，-16成等差数列，-1，，，，-16成等比数列，则（    ） A． B． C．或 D． 4.已知等比数列满足，且成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 5.已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．26 B．52 C．78 D．104 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 问题1：前面我们学习了等差数列，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 问题2：“请看下面几个问题中的数列”，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 请看下面几个问题中的数列． 1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ； ① ； ② ； ③ 古巴比伦人用60进制计数，这里转化为十进制． 2．《庄子・天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 ⑤ 4．某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ． ⑥ 追问：（1）你能用自然语言归纳每组数列的特征吗？（从相邻两项间的关系分析） （2）请归纳概括上述四个具体例子的共同特点． （类比等差数列的过程） （3）类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗可以用符号语言表示吗？ 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息． 环节二 观察分析