专题01锐角三角函数 （3个知识点5种题型1个易错点1种中考考法）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

专题01锐角三角函数 （3个知识点5种题型1个易错点1种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.正切的概念（重点） 知识点2.坡度与坡角（重点） 知识点3.正弦、余弦（重点、难点） 【方法二】 实例探索法 题型1.计算锐角的三角函数值 题型2.构造直角三角形求三角函数值 题型3.三角函数与实际问题 题型4.三角函数与旋转问题 题型5.根据三角函数求边长 【方法三】差异对比法 易错点：没有正确掌握三角函数关系的转化 【方法四】 仿真实战法 考法. 锐角三角函数定义 【方法五】 成果评定法 【学习目标】 1. 掌握坡度的概念以及一个锐角的正弦、余弦及正切的概念。 2. 能够利用三角函数来算计三角形的边长。 重点：锐角的正弦、余弦、正切的概念。 难点：锐角三角函数的简单应用。 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.正切的概念（重点） 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． 【例1】（2023秋·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，垂直于边的延长线于点，垂直于边的延长线于点，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)当，菱形的面积为时，求的值． 【变式】．（2022秋•池州期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为 　　 ． 知识点2.坡度与坡角（重点） （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 【例2】．（2023春•萧县月考）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是 　 　米． 知识点3.正弦、余弦（重点、难点） 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． 【例3】（2023秋·上海普陀·九年级校考期中）在中，，那么的值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式】（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第二十七中学校考期中）如图，在中，，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【方法二】实例探索法 题型1.计算锐角的三角函数值 1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市光华中学校校考期中）在中，若，，，则 ． 2．（2023秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）在中，，，，则的余弦值为 . 3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图，在中，，，，于点D，则的值为 ． 题型2.构造直角三角形求三角函数值 4．（2023·广东湛江·统考三模）在正方形网格中的位置如图所示，则的值为 ． 5．（2023·广东湛江·统考一模）如图，中，，是边上的中线，分别过点C，D作的平行线交于点E，且交于点O，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的值． 题型3.三角函数与实际问题 6．（2023春•宣城月考）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，若坡比i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A．75m B．50m C．45m D．30m 7．（2022秋•金安区校级期末）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：3，则AB的长为（　　） A．12米 B．米 C．米 D．米 题型4.三角函数与旋转问题 8．（2023秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接，那么的正切值为 ．    9．（2023·浙江·九年级专题练习）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且． (1)如图1，求边上的高的长． (2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 10．（2023·广东深圳·深