4.4数学归纳法课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

【2020年全国3卷理科T17】设数列 满足 ,计算 ，猜想 的通项公式并加以证明. 高考链接 数学归纳法—— 正整数有关的命题 设数列 满足 ,计算 ，猜想 的通项公 式并加以证明. ②前面一块倒下， 都会导致 相邻的后面一块必须倒下. 思考：多米诺骨牌全部依次倒下的条件是什么？ 第1块要倒下； 假如第k块骨牌倒下， 导致第k+1块骨牌倒下. 骨牌倒下 命题成立 骨牌块数 正整数n取值 数学归纳法 多米诺骨牌倒下条件 与正整数n有关的命题 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立; (2)假设当n=k(k∈N* ,k≥n0)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立. 结合(1)(2),可归纳得对于任意正整数n(n≥n0)命题都成立 这种证明方法叫做 数学归纳法. 归纳奠基 归纳递推 议一议 试问等式2+4+6+∙∙∙+2n=n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？ 解:设n=k时成立，即2+4+6+∙∙∙+2k=k2+k+1 这就是说，n=k+1时也成立， 则当n=k+1时， 2+4+6+∙∙∙+2k+2(k+1)=k2+k+1 =k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1 所以等式对任何n∈N*都成立. 事实上，当n =1时， 左边=2，右边=3 左边≠右边，等式不成立 ...... ...... 左边=n2+n n2+n≠n2+n+1 议一议 用数学归纳法证明：1+3+5+∙∙∙+(2n－1)=n2 证明：①当n =1时，左边=1， 右边=12=1， 等式成立； 没有用到假设 根据①和②，可知等式对任何n∈N*都成立. 那么n =k+1时， 1+3+5+∙∙∙+(2k－1)+[2(k+1)－1]= 这就是说，当n =k+1时，等式也成立， ②假设n =k时，等式成立，即1+3+5+∙∙∙+(2k－1)=k2 k2+[2(k+1)－1] 例1 用数学归纳法证明 利用假设 凑结论 证明： （1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝ ，等式成立. （2）假设n=k时，等式成立，即 当n=k+1时， 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立. 则n=k+1时，等式也成立. 【2020年全国3卷理科T17】设数列 满足 ,计算 ，猜想 的通项公式并加以证明. 学以致用 01 02 03 两个步骤、一个结论 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法 数学思想方法： 递推思想、类比思想、归纳转化思想 课堂小结 本节课同学们有什么收获？ 必做题 习题2.3Ａ组，第1、2、3题 选做题 思考：平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，设f(n)为n条直线的交点个数，求证： 以吾辈之青春热血 护盛世之中华 课后作业 Lavf56.40.100 $$