13.3 等腰三角形 课件 2023--2024学年人教版八年级数学上册

13.3 等腰三角形 第1课时 等腰三角形 新课导入 A B C △ABC有什么特点？ △ABD沿AD对折得到△ABC， 即AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形. D A B C D 将△ABC沿AD对折，你有什么发现？ （B） 重合的线段 重合的角 　 AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C ∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC 等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗? 1.∠B=∠C 2.BD=CD，AD为底边上的中线. 3.∠ADB=∠ADC=90°,AD为底边上的高. 4.∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线. A B C D 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简写成“三线合一”） 问题2:结论2、3、4可以用一句话归纳吗？ 问题1:结论1用文字如何表述？ 等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”） 如何证明：等腰三角形的两个底角相等. 已知：△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 证明：过A作AD⊥BC于D. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC（已知） AD=AD（公共边） ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）. ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等） A B C D 思考1：还有其他的证明方法吗？ 思考2：你有办法证明等腰三角形的“三线合一”吗？ 还可以作底边的中线或顶角的角平分线. A B C D 由△ABD≌△ACD， 可得∠BAD ＝ ∠CAD， ∠ADB ＝ ∠ADC，BD＝CD. 故得证. 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） A B C D 几何语言： 在△ABC中， ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”） 等腰三角形的性质 A B C D 几何语言： (1)∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD (2)∵AD是中线，∴ AD⊥BC，∠ BAD=∠CAD (3)∵AD是角平分线，∴ AD⊥BC，BD=CD 在△ABC中， AB=AC 时， A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD（等边对等角) 设∠A=x, 则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x, x 2x 2x 2x 例1：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC 上，且BD=BC=AD. 求△ABC各内角的度数？ 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°， 在△ABC中，∠A=36° ∠ABC=∠C=72°. A B C D x 2x 2x 2x 例1：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC 上，且BD=BC=AD. 求△ABC各内角的度数？ 探究:∵AC=AB（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） 反过来，如果∠B=∠C， 那么AB=AC成立吗？ A B C 成立. 怎样进行验证？ A B C D 证明：过A 点作AD⊥BC，垂足为D. 在△ABD 和△ACD 中， ∠B =∠C， ∠ADB = ∠ADC = 90°， AD = AD， ∴ △ABD ≌△ACD（AAS） ． ∴ AB = AC ． 已知：在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB =AC． 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 在△ABC中， ∵∠B=∠C， ∴AC=AB. 几何语言： A B C 例2：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 求证： A B C D E 1 2 已知： AD平分∠CAE AD∥BC ∠CAE是△ABC的外角 AB=AC 怎样证明命题？ 方法：画图，结合图形，把命题写成 “已知…..,求证…….”的形式. ∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行， 同位角相等） ∴∠1=∠2（角平分线的定义 ） ∴∠C=∠B（等量代换 ） ∴ AB=AC（等角对等边 ） ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等） 证明： ∵ AD平分∠CAE， A B C D E 1 2 1.如图，△ABC 中, AB =AC, ∠B=72°, 则∠C= . 2.如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =50°, 则∠B = . A B C A B C 65° 72° 随堂练习 3.已知： BD平分∠ABC ， AD∥BC .